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17. 解:(Ⅰ)直線AB、AC、BC的方程依次為。點(diǎn)到AB、AC、BC的距離依次為。依設(shè),,即,化簡(jiǎn)得點(diǎn)P的軌跡方程為
圓S: ......5分
(Ⅱ)由前知,點(diǎn)P的軌跡包含兩部分
圓S: ①
與雙曲線T: ②
因?yàn)锽(-1,0)和C(1,0)是適合題設(shè)條件的點(diǎn),所以點(diǎn)B和點(diǎn)C在點(diǎn)P的軌跡上,且點(diǎn)P的軌跡曲線S與T的公共點(diǎn)只有B、C兩點(diǎn)。
的內(nèi)心D也是適合題設(shè)條件的點(diǎn),由,解得,且知它在圓S上。直線L經(jīng)過(guò)D,且與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn),所以,L的斜率存在,設(shè)L的方程為
③
(i)當(dāng)k=0時(shí),L與圓S相切,有唯一的公共點(diǎn)D;此時(shí),直線平行于x軸,表明L與雙曲線有不同于D的兩個(gè)公共點(diǎn),所以L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。......10分
(ii)當(dāng)時(shí),L與圓S有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。這時(shí),L與點(diǎn)P的軌跡恰有3個(gè)公共點(diǎn)只能有兩種情況:
情況1:直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)B或點(diǎn)C,此時(shí)L的斜率,直線L的方程為。代入方程②得,解得。表明直線BD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)B、E;直線CD與曲線T有2個(gè)交點(diǎn)C、F。
故當(dāng)時(shí),L恰好與點(diǎn)P的軌跡有3個(gè)公共點(diǎn)。 ......15分
情況2:直線L不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和C(即),因?yàn)長(zhǎng)與S有兩個(gè)不同的交點(diǎn),所以L與雙曲線T有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。即方程組有且只有一組實(shí)數(shù)解,消去y并化簡(jiǎn)得
該方程有唯一實(shí)數(shù)解的充要條件是 ④
或 ⑤
解方程④得,解方程⑤得。
綜合得直線L的斜率k的取值范圍是有限集。 ......20分
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