4．(人教A版第43頁(yè)B組第1題)最值 變式1： 解：作出函數(shù)的圖像， 開(kāi)口向上，對(duì)稱軸上x(chóng)=1，頂點(diǎn)是(1，2)，和y軸的交點(diǎn)是(0，3)， ∴m的取值范圍是，故選C． 變式2： 解：函數(shù)有意義，應(yīng)有，解得， ∴　 　Þ 　Þ ， ∴　 M=6，m=0，故M + m=6． 變式3： 解：函數(shù)的表達(dá)式可化為． ① 當(dāng)，即時(shí)，有最小值，依題意應(yīng)有，解得，這個(gè)值與相矛盾． ②當(dāng)，即時(shí)，是最小值，依題意應(yīng)有，解得，又∵，∴為所求． ③當(dāng)，即時(shí)，是最小值， 依題意應(yīng)有，解得，又∵，∴為所求． 綜上所述，或．

5．(人教A版第43頁(yè)A組第6題)奇偶性 變式1： 解：函數(shù)是偶函數(shù) Þ 　Þ ， 當(dāng)時(shí)，是常數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上是增函數(shù)，故選D． 變式2：解：根據(jù)題意可知應(yīng)有且，即且，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是． 變式3： 解：(I)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，此時(shí)，為偶函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，， ，，此時(shí)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． (II)(i)當(dāng)時(shí)，， 若，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而函數(shù)在上的最小值為． 若，則函數(shù)在上的最小值為，且． (ii)當(dāng)時(shí)，函數(shù)， 若，則函數(shù)在上的最小值為，且， 若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而函數(shù)在上的最小值為． 綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為．

6．(北師大版第64頁(yè)A組第9題)圖像變換 變式1： 解：函數(shù)可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，作出函數(shù)圖像，由圖像可得單調(diào)區(qū)間． 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，． 作出函數(shù)圖像，由圖像可得單調(diào)區(qū)間． 在和上，函數(shù)是增函數(shù)；在和上，函數(shù)是減函數(shù)． 變式2： 解：若則，顯然不是偶函數(shù)，所以①是不正確的； 若則，滿足，但的圖像不關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以②是不正確的； 若，則，圖像是開(kāi)口向上的拋物線，其對(duì)稱軸是，∴在區(qū)間[a，+∞上是增函數(shù)，即③是正確的； 顯然函數(shù)沒(méi)有最大值，所以④是不正確的． 變式3： 解：， (1)當(dāng)c=0時(shí)，，滿足，是奇函數(shù)，所以①是正確的； (2)當(dāng)b=0，c>0時(shí)，， 方程即　或　， 顯然方程無(wú)解；方程的唯一解是　，所以② 是正確的； (3)設(shè)是函數(shù)圖像上的任一點(diǎn)，應(yīng)有， 而該點(diǎn)關(guān)于(0，c)對(duì)稱的點(diǎn)是，代入檢驗(yàn)即，也即，所以也是函數(shù)圖像上的點(diǎn)，所以③是正確的； (4)若，則，顯然方程有三個(gè)根，所以④ 是不正確的．

7．(北師大版第54頁(yè)A組第6題)值域 變式1： 解：作出函數(shù)的圖象，容易發(fā)現(xiàn)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，求出，，，注意到函數(shù)定義不包含，所以函數(shù)值域是． 變式2：解：∵ y= cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t= sinx Î [－1,1]， 則y=－2t2+t+1，其中tÎ [－1,1]， ∴y Î [－2, ]，即原函數(shù)的值域是[－2, ]． 變式3： 解：(I) ∵　 f (1 + x) = f (1－x)， ∴ －　= 1， 又方程 f (x) = x 有等根 Û a x 2 + (b－1) x = 0 有等根， ∴ △= (b－1) 2 = 0 Þ b = 1 Þ a = －， ∴ f (x) = －x 2 + x． (II) ∵　　 f (x) 為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為 x = 1， 1° 當(dāng) m≥1 時(shí)，f (x) 在 [m,n] 上是減函數(shù)， ∴　 3m = f (x)min = f (n) = －n 2 + n　　　 (*)， 　　　 　　　　 3n = f (x)max = f (m) = －m 2 + m， 兩式相減得：3 (m－n) = －(n 2－m 2) + (n－m)， ∵　　 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8， 代入 (*) 化簡(jiǎn)得：n 2－8n + 48 = 0 無(wú)實(shí)數(shù)解． 2° 當(dāng) n≤1 時(shí)，f (x) 在 [m,n] 上是增函數(shù)， ∴　 3m = f (x)min = f (m) = －m 2 + m， 　　　 　　　　 3n = f (x)max = f (n) = －n 2 + n， ∴　　 m = －4，n = 0． 3° 當(dāng) m≤1≤n 時(shí)，對(duì)稱軸 x = 1 Î [m,n]， ∴　 3n = f (x)max = f (1) = 　Þ n = 與 n≥1 矛盾． 綜合上述知，存在 m = －4、n = 0 滿足條件．

8．(北師大版第54頁(yè)B組第5題)恒成立問(wèn)題 變式1： 解：(I) 函數(shù) f (x) 的定義域?yàn)?R，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集為 R， ∴應(yīng)有　 　Þ a > 1， ∴　 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是(1,+¥) ． (II) 函數(shù) f (x) 的值域?yàn)?R，即a x 2 + 2x + 1 能夠取 (0,+¥) 的所有值． 1° 當(dāng) a = 0 時(shí)，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1滿足要求； 2° 當(dāng) a ≠ 0 時(shí)，應(yīng)有　Þ 0 < a≤1． ∴　 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是[0,1] ． 變式2： 解法一：(轉(zhuǎn)化為最值) 在上恒成立，即在上恒成立． ⑴， ； ⑵，． 綜上所述． 解法二：(運(yùn)用根的分布) ⑴當(dāng)，即時(shí)，應(yīng)有， 即，不存在； ⑵當(dāng)，即時(shí)，應(yīng)有， 即，； ⑶當(dāng)，即時(shí)，應(yīng)有，即　， 綜上所述． 變式3： 證明：(I) 依題意，f (sin ) = f (1)≥0，f (2 + cos p) = f (1)≤0， ∴　　 f (1) = 0 Þ 1 + b + c = 0 Þ b + c = －1， (II)　　　 由 (I) 得： f (x) = x 2－(c + 1) x + c 　　　 (*) ∵　 f (2 + cos b )≤0 Þ (2 + cos b ) 2－(c + 1) (2 + cos b ) + c≤0 Þ (1 + cos b ) [c－(2 + cos b )]≥0，對(duì)任意 b 成立． ∵　 1 + cos b ≥0 Þ c≥2 + cos b ， ∴　 c≥(2 + cos b )max = 3． (III) 由 (*) 得：f (sin a ) = sin 2a－(c + 1) sin a + c， 設(shè) t = sin a ，則g(t) = f (sin a ) = t 2－(c + 1) t + c，－1≤t≤1， 這是一開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為 t = ， 由 (II) 知：t≥= 2， ∴ g(t) 在 [－1,1] 上為減函數(shù)． ∴ g(t)max = g(－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， ∴ c = 3 ∴ b = －c－1 = －4．

10．(北師大版第52頁(yè)例3)應(yīng)用 變式1： 解：設(shè)矩形ABCD在x軸上的邊是BC，BC的長(zhǎng)是x(0<x<a)， 則B點(diǎn)的坐標(biāo)為，A點(diǎn)的坐標(biāo)為． 設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為P， 則P=2(0<x<a)． ① 若a>2，則當(dāng)x=2時(shí)，矩形的周長(zhǎng)P有最大值，這時(shí)矩形兩邊的長(zhǎng)分別為2和，兩邊之比為8:； ②若0 <a≤2，此時(shí)函數(shù)P=無(wú)最大值，也就是說(shuō)周長(zhǎng)最大的內(nèi)接矩形不存在． 綜上所述，當(dāng)a>2時(shí)，周長(zhǎng)最大的內(nèi)接矩形兩邊之比為8:；當(dāng)0 <a≤2時(shí)，周長(zhǎng)最大的內(nèi)接矩形不存在． 變式2： 解：(I) 依題意設(shè) A、B 兩種產(chǎn)品的利潤(rùn)表示為投資的函數(shù)關(guān)系式分別為 　　　 　　　　 f (x) = kx，g(x) = m， 由　 f (1) = k = 0.25， g(4) = 2m = 2.5 Þ m = ， ∴　 f (x) = x(x≥0)，g(x) = ． (II) 設(shè)企業(yè)在 B 產(chǎn)品投資 x 萬(wàn)元，則在 A 產(chǎn)品投資 10－x 萬(wàn)元， ∴　 企業(yè)的利潤(rùn) y = (10－x) + = [－(－) 2 + ](0≤x≤10)， ∴　 = ，即 x = 6.25 萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn) ≈4 萬(wàn)元． 答：在 A 產(chǎn)品投資 3.75 萬(wàn)元，在 B 產(chǎn)品投資 6.25 萬(wàn)元，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)約 4 萬(wàn)元． 變式3： 解：設(shè)，要使有意義，必須且，即， ∵，且……①　　 ∴的取值范圍是． 由①得：， 不妨設(shè)，． (I)由題意知即為函數(shù)，的最大值， 當(dāng)時(shí)，，，有=2； 當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線是拋物線的對(duì)稱軸， ∴可分以下幾種情況進(jìn)行討論： (1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的圖象是開(kāi)口向上的拋物線的一段， 由知在上單調(diào)遞增，故； (2)當(dāng)時(shí)，，函數(shù)，的圖象是開(kāi)口向下的拋物線的一段， 若即時(shí)，， 若即時(shí)，， 若即時(shí)，． 綜上所述，有=． (II)若a>0，則>0，此時(shí)g(a)=g( ) Û a+2= +2 Û a = Þa =1(舍去a=－1)； 若－<a<0，則<－2，此時(shí)g(a)=g( ) Û a+2=Þ a=－2+<－(舍去)； 若－<a≤－，則－2≤<－， 此時(shí)g(a)=g( ) Û －a－= Þ a=－ (舍去)； 若－≤a≤－，則－≤≤－， 此時(shí)g(a)=g( ) Û =恒成立； 若－2≤a<－，則－<≤－， 此時(shí)g(a)=g( ) Û =－a－Þ a=－ (舍去)； 若a<－2，則－<<0， 此時(shí)g(a)=g( ) Û = a+2Þ a=－2+>－2 (舍去) ． 綜上所述，滿足的所有實(shí)數(shù)a為：或．