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7．(北師大版第54頁A組第6題)值域
變式1： 解：作出函數
的圖象，容易發(fā)現在
上是增函數，在
上是減函數，求出
，
，
，注意到函數定義不包含
，所以函數值域是
．
變式2：解：∵ y= cos2x+sinx=－2sin2x+sinx+1，令t= sinx Î [－1,1]，
則y=－2t2+t+1，其中tÎ [－1,1]，
∴y Î [－2, ]，即原函數的值域是[－2, ]．
變式3： 解：(I) ∵ f (1 + x) = f (1－x)，
∴ － = 1，
又方程 f (x) = x 有等根 Û a x 2 + (b－1) x = 0 有等根，
∴ △= (b－1) 2 = 0 Þ b = 1 Þ a = －，
∴ f (x) = －x 2 + x．
(II) ∵ f (x) 為開口向下的拋物線，對稱軸為 x = 1，
1° 當 m≥1 時，f (x) 在 [m,n] 上是減函數，
∴ 3m = f (x)min = f (n) = －n 2 + n (*)，
3n = f (x)max = f (m) = －m 2 + m，
兩式相減得：3 (m－n) = －(n 2－m 2) + (n－m)，
∵ 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8，
代入 (*) 化簡得：n 2－8n + 48 = 0 無實數解．
2° 當 n≤1 時，f (x) 在 [m,n] 上是增函數，
∴ 3m = f (x)min = f (m) = －m 2 + m，
3n = f (x)max = f (n) = －n 2 + n，
∴ m = －4，n = 0．
3° 當 m≤1≤n 時，對稱軸 x = 1 Î [m,n]，
∴ 3n = f (x)max = f (1) = Þ n = 與 n≥1 矛盾．
綜合上述知，存在 m = －4、n = 0 滿足條件．