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2.(人教A版選修1-1,2-1第40頁(yè)練習(xí)第3題)
已知經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線(xiàn)A B,交橢圓于A,B兩點(diǎn),是橢圓的左焦點(diǎn).
(1)求的周長(zhǎng);
(2)如果AB不垂直于x軸,的周長(zhǎng)有變化嗎?為什么?
變式1(2005年全國(guó)卷Ⅲ):設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、、F2,過(guò)F2作橢圓長(zhǎng)軸的垂線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)P,若△F1PF2為等腰直角三角形,則橢圓的離心率是
A. B. C. D.
解一:設(shè)橢圓方程為,依題意,顯然有,則,即,即,解得.選D.
解二:∵△F1PF2為等腰直角三角形,∴.
∵,∴,∴.故選D.
變式2:已知雙曲線(xiàn)的左,右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)的右支上,且,則此雙曲線(xiàn)的離心率e的最大值為 .
解一:由定義知,又已知,解得,,在中,由余弦定理,得,要求的最大值,即求的最小值,當(dāng)時(shí),解得.即的最大值為.
解二:設(shè),由焦半徑公式得,∵,∴,∴,∵,∴,∴的最大值為.
變式3(2005年全國(guó)卷Ⅰ):已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在軸上,斜率為1且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn),與共線(xiàn).
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn),且,證明為定值.
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓方程為,
則直線(xiàn)AB的方程為,代入,化簡(jiǎn)得
.
設(shè)A(),B),則
由與共線(xiàn),得
又,
即,所以,
故離心率
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知,所以橢圓可化為
設(shè),由已知得
在橢圓上,
即①
由(Ⅰ)知
又,代入①得
故為定值,定值為1.
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