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4.(人教A版選修1-1,2-1第47頁習題2.1B組第3題)
如圖,矩形ABCD中,,,E,F,G,H分別是矩形四條邊的中點,R,S,T是線段OF的四等分點,,,是線段CF的四等分點.請證明直線ER與、ES與、ET與的交點L,M,N在同一個橢圓上.
變式1:直線與雙曲線的右支交于不同的兩點A、B.若雙曲線C的右焦點F在以AB為直徑的圓上時,則實數(shù) .
解:將直線代入雙曲線C的方程整理,得
……①
依題意,直線L與雙曲線C的右支交于不同兩點,故
解得.
設A、B兩點的坐標分別為、,則由①式得
……②
∵雙曲線C的右焦點F 在以AB為直徑的圓上,則由FA⊥FB得:
整理,得……③
把②式及代入③式化簡,得
解得,故.
變式2(2002年廣東卷):A、B是雙曲線上的兩點,點N(1,2)是線段AB的中點.
(Ⅰ)求直線AB的方程;
(Ⅱ)如果線段AB的垂直平分線與雙曲線相交于C、D兩點,那么A、B、C、D四點是否共圓?為什么? 解:(Ⅰ)直線AB的方程為.(求解過程略)
(Ⅱ)聯(lián)立方程組得、.
由CD垂直平分AB,得CD方程為.
代入雙曲線方程整理,得.
記,以及CD的中點為,
則有從而.
∵.
∴.
又.
即A、B、C、D四點到點M的距離相等.
故A、B、C、D四點共圓.
變式3(2005年湖北卷):設A、B是橢圓上的兩點,點N(1,3)是線段AB的中點,線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.
(Ⅰ)確定的取值范圍,并求直線AB的方程;
(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的,使得A、B、C、D四點在同一個圓上?并說明理由.
(Ⅰ)解法1:依題意,可設直線AB的方程為整理,得 ①
設①的兩個不同的根,
?、?/p>
是線段AB的中點,得
解得=-1,代入②得,>12,即的取值范圍是(12,+).
于是,直線AB的方程為
解法2:設
依題意,
(Ⅱ)解法1:代入橢圓方程,整理得
?、?/p>
③的兩根,
于是由弦長公式可得 ?、?/p>
將直線AB的方程?、?/p>
同理可得 ⑥
假設在在>12,使得A、B、C、D四點共圓,則CD必為圓的直徑,點M為圓心.點M到直線AB的距離為 ⑦
于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故當時,A、B、C、D四點均在以M為圓心,為半徑的圓上.
(注:上述解法中最后一步可按如下解法獲得:
A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形,A為直角
⑧
由⑥式知,⑧式左邊=
由④和⑦知,⑧式右邊=
∴⑧式成立,即A、B、C、D四點共圓
解法2:由(Ⅱ)解法1及.
代入橢圓方程,整理得
③ 解得.
將直線AB的方程代入橢圓方程,整理得
⑤ 解得.
不妨設
∴
計算可得,∴A在以CD為直徑的圓上.
又點A與B關于CD對稱,∴A、B、C、D四點共圓.
(注:也可用勾股定理證明AC⊥AD)