2009大連市高三雙基考試

數(shù)學(xué)試卷（理科）

參考公式：

棱錐體積公式：（其中為棱錐的底面積，為棱錐的高）

 

一、選擇題:本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1、集合，則=

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　A．    B. C.D.  

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2、在等差數(shù)列中，已知，則等于

A. 1003             B. 1004             C. 1005             D.1006

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3、函數(shù)的一個單調(diào)減區(qū)間是

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A.     B.         C.         D.

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4、已知函數(shù)定義域?yàn)?sub>，則一定為

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A．非奇非偶函數(shù)     B. 奇函數(shù)           C. 偶函數(shù)   D.既奇又偶函數(shù)

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5、二項(xiàng)展開式中的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為

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A.   B.    C.      D.

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6、已知函數(shù)，則

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A.    B.      C.            D.

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７、已知等腰直角，，,點(diǎn)是內(nèi)部或邊界上一動點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，則的最大值為

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A.4         B.5             C.6             D.7

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8、已知數(shù)列（），則的最小值為

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A．-19          B.-18           C.-17       D.-16

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9、下列說法錯誤的是

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A.已知命題為“”，則為“”

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dads4merica.comB. 若為假命題，則均為假命題

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C. 的一個充分不必要條件是   

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D.“全等三角形的面積相等”的否命題是假命題

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10、如圖，已知正方體棱長為1，點(diǎn)在線段上.當(dāng)最大時，三棱錐的體積為                                                                                                                       

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第１０題圖

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11、已知拋物線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，是兩曲線的一個交點(diǎn)，且軸，則橢圓的離心率為

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A.    B.       C.          D.

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12、已知，則關(guān)于的方程有實(shí)根的概率為

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A.         B.          

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C.         D.

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第Ⅱ卷(非選擇題  共90分)

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二、填空題:（ 本大題共6小題，每小題4分，考生做答4題，滿分16分．其中15-18題是選做題.）

（一）必做題.

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13、已知雙曲線 的一個焦點(diǎn)在圓上，則雙曲線的漸近線方程為   ．

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14、給出如圖所示的程序框圖，那么輸出的數(shù)是　　　　　　.

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第１４題圖

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（二）選做題(考生只需選做二題，如果多做，則按所做的前兩題記分).

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15、（不等式選講選做題）不等式的解集為          ．

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16、（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選講選做題）極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P到直線的距離是　      　　　．

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17、（幾何證明選講選做題）如圖，已知C在圓O直徑BE的延長線上，CA切圓O于A點(diǎn)，DC是ACB的平分線交AE于點(diǎn)F,交AB于D點(diǎn)，則ADF=     ．

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18、（矩陣選講選做題）矩陣的逆矩陣是           ．

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第１５題圖


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三.解答題:本大題共6題,共74分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.


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１９、（本小題滿分12分）已知中，，角所對的邊分別是


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（Ⅰ）求的取值范圍；


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（Ⅱ）若，求的最小值．


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２０、（本小題滿分12分）如圖所示，三棱柱中，四邊形為菱形，，為等邊三角形，面面，分別為棱的中點(diǎn)


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（Ⅰ）求證：面；


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（Ⅱ）求二面角的大�。�


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２１、（本小題滿分12分）已知盒中有大小相同的 3個紅球 和t 個白球，從盒中一次性取出3個球，取到白球個數(shù)的期望為.若每次不放回地從盒中抽取一個球，一直到抽出所有白球時停止抽取，設(shè)為停止抽取時取到的紅球個數(shù)，


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（Ⅰ）求白球的個數(shù)t；


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（Ⅱ）求的數(shù)學(xué)期望.


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２２、（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，


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（Ⅰ）求證：是等差數(shù)列；


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（Ⅱ）求.


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２３、（本小題滿分12分）已知可行域的外接圓C與軸交于點(diǎn)A1、A2，橢圓C1以線段A1A2為短軸，離心率


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（Ⅰ）求圓C及橢圓C1的方程；


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（Ⅱ）過橢圓C1上一點(diǎn)P(不在坐標(biāo)軸上)向圓C引兩條切線PA、PB、A、B為切點(diǎn)，直線AB分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N．求△MON面積的最小值．（O為原點(diǎn)）．


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２４、（本小題滿分1４分）已知函數(shù)（常數(shù)）


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（Ⅰ）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；


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（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)有極值時，求證：函數(shù)所有極值之和小于．


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2009大連市高三雙基考試


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一、選擇題
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
C
B
D 
C
B
A 
Ｂ
Ｄ
Ａ
二、填空題
13．  　　　 14. 7500  　　　  15. （-1，1） 
16. 　　　　　�。保罚�45o  　　　　　　　　１８．
三、解答題
１９解：（Ⅰ）
┅┅┅┅┅┅┅４分
因?yàn)?sub>，所以，所以，
即的取值范圍為┅┅┅┅┅┅┅６分
（Ⅱ）因?yàn)?sub>，所以┅┅┅┅┅┅┅８分
所以的最小值為，當(dāng)即為等邊三角形時取到. ┅┅┅┅┅┅┅１2分
２０（Ⅰ）證明（方法一）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以，┅┅┅┅┅┅┅３分
所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)?sub>，所以面；┅┅┅┅┅┅┅６分
（方法二）取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以
又因?yàn)?sub>分別為中點(diǎn)，所以┅┅┅┅┅┅┅３分
且，
所以面面，
又面，所以面┅┅┅┅┅┅６分
（方法三）取中點(diǎn)，連接，
由題可得，又因?yàn)槊?sub>面，
所以面，又因?yàn)榱庑?sub>中，所以.
可以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
┅┅┅┅┅┅┅7分
不妨設(shè)，
可得，
，，，，所以
所以，┅┅┅┅┅┅┅9分
設(shè)面的一個法向量為，則，不妨取，則，所以，又因?yàn)?sub>面，所以面.
┅┅┅┅┅┅┅12分
 
 
 
 
 
 
 
（Ⅱ）（方法一）
過點(diǎn)作的垂線交于，連接.
因?yàn)?sub>，
所以，所以面，
所以為二面角的平面角. ┅┅┅┅┅┅┅８分
 
因?yàn)槊?sub>面，所以點(diǎn)在面上的射影落在上，所以，
所以，不妨設(shè)，所以，同理可得.┅┅┅┅┅┅┅10分
所以，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅12分
（方法二）由（Ⅰ）方法三可得，設(shè)面的一個法向量為，則，不妨取，則.
┅┅┅┅┅┅┅８分
又，設(shè)面的一個法向量為，則，不妨取，則.┅┅┅┅┅┅┅１０分
所以，因?yàn)槎娼?sub>為銳角，所以二面角的大小為┅┅┅┅┅┅┅１2分
２１解：
（Ⅰ）從盒中一次性取出三個球，取到白球個數(shù)的分布列是超幾何分布，┅┅┅┅┅┅┅１分
所以期望為，所以，即盒中有 3個紅球，2 個白球．┅┅┅┅┅┅┅３分
（Ⅱ）由題可得的取值為0，1，2，3.
,=,,
所以的分布列為
0
1
2
3
P
                                                         
┅┅┅┅┅┅┅１１分
E =                                

答：紅球的個數(shù)為2，的數(shù)學(xué)期望為2　　　　┅┅┅┅┅┅┅１2分
２２解：（Ⅰ）由可得，┅┅┅┅┅┅┅2分
即，所以，┅┅┅┅┅┅┅４分
又，所以，
所以是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1┅┅┅┅┅┅┅６分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即┅┅┅┅┅┅┅７分
令  ①
則  ②┅┅┅┅┅┅９分
①-②可得
所以，所以┅┅１2分
２３解：（Ⅰ）由題意可知，可行域是以及點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，
∵，∴為直角三角形，     ┅┅┅┅┅┅┅2分
∴外接圓C以原點(diǎn)O為圓心，線段A1A2為直徑，故其方程為．
∵2b=4，∴b=2．又，可得．
∴所求橢圓C1的方程是．          
┅┅┅┅┅┅┅4分
（Ⅱ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），，OA的斜率為，則PA的斜率為，則PA的方程為：化簡為：，     
同理PB的方程為               
┅┅┅┅┅┅┅6分
又PA、PB同時過P點(diǎn)，則x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，
∴AB的直線方程為：x0x+y0y=4              
┅┅┅┅┅┅┅8分
（或者求出以O(shè)P為直徑的圓，然后求出該圓與圓C的公共弦所在直線方程即為AB的方程）
      從而得到、
所以      ┅┅┅┅┅┅┅8分
當(dāng)且僅當(dāng).          
┅┅┅┅┅┅┅12分
（或者利用橢圓的參數(shù)方程、函數(shù)求最值等方法求的最大值）
 
 
２４解：（Ⅰ）┅┅┅┅┅┅┅2分
①當(dāng)，即，在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅４分
②當(dāng)，即，當(dāng)時，在上有，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅６分
③當(dāng)，即
當(dāng)時，函數(shù)對稱軸在y軸左側(cè)，且，所以在上有，所以在單調(diào)遞增；┅┅┅┅┅┅┅８分
當(dāng)時，函數(shù)對稱軸在右側(cè)，且，
兩個根分別為，所以在上有，即在單調(diào)遞增；在上有，即在單調(diào)遞減.
綜上：時，在單調(diào)遞增；時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. ┅┅┅┅┅┅┅１０分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知當(dāng)時，有極大值，極小值，所以
，又因?yàn)?sub>，
┅┅┅１2分
所以
=
		




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