19.(本小題滿分12分)
解法一:
(I)證明
如圖,連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EG。
∵ 底面ABCD是正方形,
∴ G為AC的中點(diǎn).
又E為PC的中點(diǎn),
∴EG//PA。
∵EG平面EDB,PA平面EDB,
∴PA//平面EDB ………………4分
(II)證明:
∵ PD⊥底面ABCD,∴PD⊥DB,PD⊥DC,PD⊥DB。
又∵BC⊥DC,PD∩DC=D,
∴BC⊥平面PDC。
∴PC是PB在平面PDC內(nèi)的射影。
∵PD⊥DC,PD=DC,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn),
∴DE⊥PC。
由三垂線定理知,DE⊥PB。
∵DE⊥PB,EF⊥PB,DE∩EF=E,
∴PB⊥平面EFD。 …………………………8分
(III)解:
∵PB⊥平面EFD,
∴PB⊥FD。
又∵EF⊥PB,F(xiàn)D∩EF=F,
∴∠EFD就是二面角C―PB―D的平面角!10分
∵PD=DC=BC=2,
∴PC=DB=
∵PD⊥DB,
由(II)知:DE⊥PC,DE⊥PB,PC∩PB=P,
∴DE⊥平面PBC。
∵EF平面PBC,
∴DE⊥EF。
∴∠EFD=60°。
故所求二面角C―PB―D的大小為60°。 ………………12分
解法二:
如圖,以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,得以下各點(diǎn)坐標(biāo):D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),
C(0,2,0),P(0,0,2) ………………1分
(I)證明:
連結(jié)AC,AC交BD于點(diǎn)G,連結(jié)EG。
∵ 底面ABCD是正方形,
∴ G為AC的中點(diǎn).G點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1,0)。
∴PA//平面EDB ………………4分 (II)證明:
(III)解: ∵PB⊥平面EFD, ∴PB⊥FD。 又∵EF⊥PB,F(xiàn)D∩EF=F, ∴∠EFD就是二面角C―PB―D的平面角!10分
∴∠EFD=60°。 故所求二面角C―PB―D的大小為60°。 ………………12分 20.(本小題滿分12分) (I)解: 設(shè) “從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件,“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球”為事件.由于事件相互獨(dú)立,所以取出的4個球均為黑球的概率為 ………………2分 , ∴取出的4個球均為黑球的概率為 ………………5分 (II)解:設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個球均為黑球;從乙盒內(nèi)取出的2個球中,1個是黑球,1個是紅球”為事件,“從乙盒內(nèi)取出的2個球均為黑球;從甲盒內(nèi)取出的2個球中,1個是黑球,1個是紅球?yàn)槭录﨑。 ∴取出的“4個球中恰有3個黑球”為事件C+D。 ∵事件C,D互斥,
∴取出的4個球中恰有3個黑球的概率為 21.(本小題滿分12分) (I)解: 由題意設(shè)雙曲線S的方程為 ………………2分 c為它的半焦距,
(II)解:
22.(本小題滿分12分) (I)解:
(II)解:
(III)解:
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