江蘇省南通市2009屆高三第二次調(diào)研測試

數(shù) 學(xué) 試 題

必做題部分

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

二、解答題：本大題共6小題,共90分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

試題詳情

 

必做題部分

 

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．

1.  已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，則  ▲  .

2.  若復(fù)數(shù)z滿足zi=2+i（i是虛數(shù)單位），則z=  ▲  .

3.  已知冪函數(shù)的圖象過點，則

=  ▲  .

4.  如圖，一個空間幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖為全

等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為1，

那么這個幾何體的表面積為  ▲  .

5.  設(shè)x₀是方程8－x=lgx的解，且，則k＝  ▲  .

6.  矩形ABCD中，. 在矩形內(nèi)任取一點P，則的概率為  ▲  .

7.  △ABC中，，，則的最小值是  ▲  .

8.  已知，，則等于  ▲  .                                                  

9.  右圖是由所輸入的x值計算y值的一個算法程序，

若x依次取數(shù)列（，n≤2009）的

項，則所得y值中的最小值為  ▲  .

11.  已知雙曲線的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是雙曲線上一點，且PF₁⊥PF₂，P F₁P F₂ =4ab，則雙曲線的離心率是  ▲  .

11. 設(shè)函數(shù)f(x)=ax+b，其中a，b為常數(shù)，f₁(x)＝f(x)，f_n+1(x)＝f [f_n(x)]，n＝1，2，….

若f₅(x)=32x+93, 則ab＝  ▲  .

12. 函數(shù)f(x)=的值域為  ▲  .

13. 設(shè)函數(shù), A₀為坐標(biāo)原點，A_n為函數(shù)y=f（x）圖象上橫坐標(biāo)為

的點，向量，向量i=（1，0），設(shè)為向量與向量i的夾角，則滿足

 的最大整數(shù)n是  ▲  .

14. 已知l₁和l₂是平面內(nèi)互相垂直的兩條直線，它們的交點為A，動點B、C分別在l₁和l₂

上，且，過A、B、C三點的動圓所形成的區(qū)域的面積為  ▲  .

【填空題答案】

1．{2，4};       2．1－2i ;           3．；         4．；       5．7；

6．；        7．；            8．；        9．17；           10． ；

11．6；        12．；         13．3；         14．18．

 

二、解答題：本大題共6小題,共90分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.

15. （本題滿分14分）

某高級中學(xué)共有學(xué)生3000名，各年級男、女生人數(shù)如下表：

 

高一年級

高二年級

高三年級

女生

523

x

y

男生

487

490

z

已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽到高二年級女生的概率是0.17.

（1）問高二年級有多少名女生？

（2）現(xiàn)對各年級用分層抽樣的方法在全校抽取300名學(xué)生，問應(yīng)在高三年級抽取多少

名學(xué)生？

【解】（1）由題設(shè)可知，    所以x=510.       ………………………6分

    （2）高三年級人數(shù)為y＋z＝3000－（523＋487＋490+510）＝990，………………9分

     現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取300名學(xué)生，應(yīng)在高三年級抽取的人數(shù)為：

 名.                                  ………………………12分

     答：（1）高二年級有510名女生；（2）在高三年級抽取99名學(xué)生．……………14分

 

16. （本題滿分14分）

_{如圖， ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，}

_{AB=4a，BC= CF=2a， P為AB的中點.}

_{（1）求證：平面PCF⊥平面PDE；}

_{（2）求四面體PCEF的體積.}

_{【證明】（1）因為ABCD為矩形，AB=2BC, P為AB的中點，}

_{所以三角形PBC為等腰直角三角形，∠BPC=45°.     …………………………2分}

_{同理可證∠APD=45°.}

_{所以∠DPC=90°，即PC⊥PD.                       …………………………3分}

_{又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD內(nèi)，所以PC⊥DE. ………………………4分}

_{因為DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE .                  …………………………5分}

_{又因為PC在平面PCF內(nèi)，所以平面PCF⊥平面PDE.  …………………………7分}

【解】（2）因為CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，

所以DE//CF. 又DC⊥CF，

所以              ……………………… 10分

在平面ABCD內(nèi)，過P作PQ⊥CD于Q，則

PQ//BC，PQ=BC=2a.

因為BC⊥CD，BC⊥CF，

所以BC⊥平面PCEF，即PQ⊥平面PCEF，

亦即P到平面PCEF的距離為PQ=2a.                  ………………………12分

           ………………………14分

（注：本題亦可利用求得）

 

17 . （本題滿分15分）

△ABC中，角A的對邊長等于2，向量m=，向量n=.

（1）求m?n取得最大值時的角A的大��；

（2）在（1）的條件下，求△ABC面積的最大值.

【解】（1）m?n＝2－. …………………3分

因為 A＋B＋C，所以B＋C－A，

于是m?n＝＋cosA＝－2＝－2.……………5分

因為，所以當(dāng)且僅當(dāng)＝，即A＝時，m?n取得最大值.

故m?n取得最大值時的角A＝.                       …………………………7分

（2）設(shè)角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c，

由余弦定理，得 b²＋c²－a²＝2bccosA，                 …………………………9分

即bc＋4＝b²＋c²≥2bc，                              ……………………… 11分

所以bc≤4，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時取等號.                ……………………… 12分

又S_△ABC＝bcsinA＝bc≤.

當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝2時，△ABC的面積最大為.        ………………………15分

 

18. （本題滿分15分）

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸和y軸上（如圖），且

OC=1，OA=a+1(a>1)，點D在邊OA上，滿足OD=a. 分別以O(shè)D、OC為長、短半軸的

橢圓在矩形及其內(nèi)部的部分為橢圓弧CD. 直線l：y=－x+b與橢圓弧相切，與AB交于

點E.

（1）求證：；

（2）設(shè)直線l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，

求直線l的方程；

（3）在（2）的條件下，設(shè)圓M在矩形及其內(nèi)部，

且與l和線段EA都相切，求面積最大的圓M

的方程．

【解】題設(shè)橢圓的方程為.                    …………………………1分

由消去y得.   …………………………2分

由于直線l與橢圓相切，故△＝(－2a²b)²－4a²(1+a²) (b²－1)＝0，

化簡得.          ①                        …………………………4分

（2）由題意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），

于是OB的中點為.                           …………………………5分

因為l將矩形OABC分成面積相等的兩部分，所以l過點，

即，亦即.         ②          …………………………6分

由①②解得，故直線l的方程為    …………………………8分

（3）由（2）知.

因為圓M與線段EA相切，所以可設(shè)其方程為.………9分

因為圓M在矩形及其內(nèi)部，所以      ④     ……………………… 10分

圓M與 l相切，且圓M在l上方，所以，即.

………………………12分

代入④得即            ………………………13分

所以圓M面積最大時，，這時，.

故圓M面積最大時的方程為 ………………………15分

 

19. （本題滿分16分）

已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為. 記函數(shù)

 k為常數(shù)）.

    （1）若函數(shù)f(x)在區(qū)間上為減函數(shù)，求的取值范圍；

（2）求函數(shù)f(x)的值域.

【解】（1）因為f(x)在區(qū)間上為減函數(shù)，

所以對任意的且恒有成立.

即恒成立. …………………………3分

因為，所以對且時，恒成立.

又<1，所以                    …………………………6分

（2）.             …………………………7分

下面分兩種情況討論：

（1）當(dāng)時，是關(guān)于x的增函數(shù)，值域為

…………………………9分

（2）當(dāng)時，又分三種情況：

①當(dāng)時，因為，所以即.

所以f(x)是減函數(shù)，.

又，

當(dāng)，所以f(x)值域為.     ………………………10分

②當(dāng)k=1時，，

且f(x)是減函數(shù)，故f(x)值域是.               ………………………12分

③當(dāng)時，是增函數(shù)，，

.

下面再分兩種情況：

（a）當(dāng)時，的唯一實根，故，

是關(guān)于x的增函數(shù)，值域為；

（b）當(dāng)時，的唯一實根，

當(dāng)時，；當(dāng)時，；

所以f(x).

故f(x)的值域為.                        ………………………15分

綜上所述，f(x)的值域為；（）；

（）；（）.            ………………………16分

 

20．（本題滿分16分）

設(shè){a_n}是等差數(shù)列，其前n項的和為S_n.

（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（2）設(shè){a_n}各項為正數(shù)，a₁=，a₁≠a₂，若存在互異正整數(shù)m，n，p滿足：①m+p=2n；

②. 求集合的元素個數(shù)；

（3）設(shè)b_n=(a為常數(shù)，a>0，a≠1，a₁≠a₂)，數(shù)列{b_n}前n項和為T_n. 對于正整數(shù)c，

d，e，f，若c<d<e<f，且c+f=d+e， 試比較(T_c)^-1+(T_f)^-1與(T_d)^-1+(T_e)^-1的大小.

【證】（1）{a_n}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則

，于是（常數(shù)），

故數(shù)列是等差數(shù)列.                              …………………………3分

【解】（2）因為{a_n}為等差數(shù)列，所以是等差數(shù)列，

于是可設(shè)為常數(shù))，從而.

因為m+p=2n，所以由兩邊平方得

，即，

亦即，………………………4分

于是，兩邊平方并整理得，即.                                  

 …………………………6分

因為m≠p，所以，從而，而a₁=，所以.

故