《新課標》必修Ⅰ復(fù)習(xí)        第八講   函數(shù)與方程

                             

一.課標要求:

1.結(jié)合二次函數(shù)的圖像,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù),從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系;

2.根據(jù)具體函數(shù)的圖像,能夠借助計算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解,了解這種方法是求方程近似解的常用方法。

二.命題走向

1.方程的根與函數(shù)的零點

(1)函數(shù)零點

試題詳情

概念:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。

試題詳情

函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。即:方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點。

試題詳情

二次函數(shù)的零點:

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1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點;

試題詳情

2)△=0,方程有兩相等實根(二重根),二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點;

試題詳情

3)△<0,方程無實根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點,二次函數(shù)無零點。

試題詳情

零點存在性定理:如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有,那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點。既存在,使得,這個也就是方程的根。

試題詳情

2.二分法

二分法及步驟:

試題詳情

對于在區(qū)間,上連續(xù)不斷,且滿足?的函數(shù),通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進而得到零點近似值的方法叫做二分法.

試題詳情

給定精度,用二分法求函數(shù)的零點近似值的步驟如下:

試題詳情

(1)確定區(qū)間,,驗證?,給定精度;

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(2)求區(qū)間的中點;

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(3)計算

試題詳情

①若=,則就是函數(shù)的零點;

試題詳情

②若?<,則令=(此時零點);

試題詳情

③若?<,則令=(此時零點);

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(4)判斷是否達到精度;

試題詳情

即若,則得到零點值(或);否則重復(fù)步驟2~4。

注:函數(shù)零點的性質(zhì)

試題詳情

從“數(shù)”的角度看:即是使的實數(shù);

試題詳情

從“形”的角度看:即是函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標;

試題詳情

若函數(shù)的圖象在處與軸相切,則零點通常稱為不變號零點;

試題詳情

若函數(shù)的圖象在處與軸相交,則零點通常稱為變號零點。

試題詳情

注:用二分法求函數(shù)的變號零點:二分法的條件?表明用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點。

試題詳情

3.二次函數(shù)的基本性質(zhì)

(1)二次函數(shù)的三種表示法:y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+n。

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(2)當a>0,f(x)在區(qū)間[pq]上的最大值M,最小值m,令x0= (p+q)。

試題詳情

若-<p,則f(p)=m,f(q)=M

試題詳情

p≤-<x0,則f(-)=mf(q)=M;

試題詳情

x0≤-<q,則f(p)=M,f(-)=m;

試題詳情

若-q,則f(p)=M,f(q)=m。

(3)二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實根分布及條件。

試題詳情

①方程f(x)=0的兩根中一根比r大,另一根比ra?f(r)<0;

試題詳情

②二次方程f(x)=0的兩根都大于r

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③二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根

試題詳情

④二次方程f(x)=0在區(qū)間(pq)內(nèi)只有一根f(p)?f(q)<0,或f(p)=0(檢驗)或f(q)=0(檢驗)檢驗另一根若在(p,q)內(nèi)成立。

【課前預(yù)習(xí)】

試題詳情

1. 關(guān)于的方程有正根,則實數(shù)的取值范圍是                

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2.【07山東文11】.設(shè)函數(shù)的圖象的交點為,

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所在的區(qū)間是(    )

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A.              B.              C.              D.

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3. 已知定義域為的函數(shù)是偶函數(shù),并且在上為增函數(shù)。若,則的解集是                   ;

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4. 函數(shù)的對稱軸方程為,則常數(shù)=            

題型1:方程的根與函數(shù)零點

例1.判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點。

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四.典例解析

  (1)

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  (2)

試題詳情

  (3)

 

 

 

 

試題詳情

例2.(1)方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為(   )

A.(0,1)      B.(1,2)        C.(2,3)       D.(3,+∞)

試題詳情

(2)設(shè)a為常數(shù),試討論方程的實根的個數(shù)。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

題型2:零點存在性定理

試題詳情

例3.(2004廣東21)設(shè)函數(shù),其中常數(shù)為整數(shù)。

試題詳情

(1)當為何值時,

試題詳情

(2)定理:若函數(shù)上連續(xù),且異號,則至少存在一點,使得

試題詳情

試用上述定理證明:當整數(shù)時,方程內(nèi)有兩個實根。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

例4.若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線,則下列說法正確的是(   )

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A.若,不存在實數(shù)使得;

試題詳情

B.若,存在且只存在一個實數(shù)使得;

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C.若,有可能存在實數(shù)使得  

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D.若,有可能不存在實數(shù)使得;

題型3:二分法的概念

試題詳情

例5.關(guān)于“二分法”求方程的近似解,說法正確的是()

試題詳情

A.“二分法”求方程的近似解一定可將在[a,b]內(nèi)的所有零點得到;

試題詳情

B.“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]內(nèi)的零點;

試題詳情

C.應(yīng)用“二分法”求方程的近似解,在[a,b]內(nèi)有可能無零點;

試題詳情

D.“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]內(nèi)的精確解;

 

試題詳情

例6.方程在[0,1]內(nèi)的近似解,用“二分法”計算到達到精確度要求。那么所取誤差限是(   )

試題詳情

A.0.05        B.0.005         C.0.0005      D.0.00005

 

 

 

題型4:應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點和方程的近似解

試題詳情

例7.借助計算器,用二分法求出在區(qū)間(1,2)內(nèi)的近似解(精確到0.1)。

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

例8.借助計算器或計算機用二分法求方程的近似解(精確到)。

 

 

 

 

 

 

 

 

題型5:一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點

試題詳情

例9.(1)已知是方程的兩個根,且,

試題詳情

的取值范圍。

試題詳情

(2)已知關(guān)于的方程的一根分布在區(qū)間(-2,0)內(nèi),另一根分布在區(qū)間(1,3)內(nèi),求實數(shù)的取值范圍。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

試題詳情

例10.已知二次函數(shù),設(shè)方程的兩個實數(shù)根為.

試題詳情

(1)如果,設(shè)函數(shù)的對稱軸為,求證:;

試題詳情

(2)如果,,求的取值范圍.

 

 

 

【課外作業(yè)】

試題詳情

1.若函數(shù)有負值,則實數(shù)的取值范圍是             (   )

試題詳情

A.    B.    C.    D.

試題詳情

2.若都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù),且方程有實數(shù)解,則不可能是                                                     (   )

試題詳情

A.   B.   C.   D.

試題詳情

3.設(shè)函數(shù),若,則關(guān)于的方程的解的個數(shù)為                                              (   )

A.1          B.2          C.3          D.4

試題詳情

4.是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù),且,則方程在區(qū)間(0,6)內(nèi)解的個數(shù)的最小值是                                       (   )

A.2          B.3          C.4          D.5

試題詳情

5.函數(shù)在[0,2]上                               (   )

A.有三個零點    B.有兩個零點   C.有一個零點    D.沒有零點

五.思維總結(jié)

試題詳情

1.函數(shù)零點的求法:

試題詳情

①(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;

試題詳情

②(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。

試題詳情

2.解決二次函數(shù)的零點分布問題要善于結(jié)合圖像,從判別式、韋達定理、對稱軸、區(qū)間端點函數(shù)值的正負、二次函數(shù)圖像的開口方向等方面去考慮使結(jié)論成立的所有條件。函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切,聯(lián)系的方法就是數(shù)形結(jié)合。

 

 

 

試題詳情

                           2008年7月

【課前預(yù)習(xí)】

答案: 1、;  2、B.試題分析,可求得:。易知函數(shù)的零點所在區(qū)間為

 3、;   4、-4。

四.典例解析

題型1:方程的根與函數(shù)零點

例1. 分析:利用函數(shù)零點的存在性定理或圖像進行判斷。

解析:(1)方法一:

方法二:

解得,

所以函數(shù)。

(2)∵,

     ∴

(3)∵,

      

     ∴,故存在零點。

評析:函數(shù)的零點存在性問題常用的辦法有三種:一是定理;二是用方程;三是用圖像

 

例2. 解析:(1)方法一令則根據(jù)選擇支可以求得<0;<0;>0.因為<0可得零點在(2,3)內(nèi)選C

方法二:在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標,顯然在區(qū)間(1,3)內(nèi),由此可排除A,D至于選B還是選C,由于畫圖精確性的限制,單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較與2的大小。當x=2時,lgx=lg2,3-x=1。由于lg2<1,因此>2,從而判定∈(2,3),故本題應(yīng)選C

(2)原方程等價于

構(gòu)造函數(shù),作出它們的圖像,易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得:

①當時,原方程有一解;

②當時,原方程有兩解;

③當時,原方程無解。

點評:圖象法求函數(shù)零點,考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數(shù)形結(jié)合,要在結(jié)合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計,而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值,通過比較其大小進行判斷

題型2:零點存在性定理

例3.解析:(1)函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續(xù),且

當x∈(-m,1-m)時,f (x)<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1-m)

當x∈(1-m, +∞)時,f (x)>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1-m)

根據(jù)函數(shù)極值判別方法,f(1-m)=1-m為極小值,而且

對x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m

故當整數(shù)m≤1時,f(x) ≥1-m≥0

(2)證明:由(I)知,當整數(shù)m>1時,f(1-m)=1-m<0,

函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù).

由所給定理知,存在唯一的

而當整數(shù)m>1時,

類似地,當整數(shù)m>1時,函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與異號,由所給定理知,存在唯一的

故當m>1時,方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實根。

點評:本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應(yīng)用上。

例4. 解析:由零點存在性定理可知選項D不正確;對于選項B,可通過反例“在區(qū)間上滿足,但其存在三個解”推翻;同時選項A可通過反例“在區(qū)間上滿足,但其存在兩個解”;選項D正確,見實例“在區(qū)間上滿足,但其不存在實數(shù)解”。

點評:該問題詳細介紹了零點存在性定理的理論基礎(chǔ)。

題型3:二分法的概念

例5. 解析:如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設(shè),且在區(qū)間內(nèi)存在兩個及以上的實根,二分法只可能求出其中的一個,只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解,二分法的實施滿足零點存在性定理,在區(qū)間內(nèi)一定存在零點,甚至有可能得到函數(shù)的精確零點。

點評:該題深入解析了二分法的思想方法。

 

例6.解析:由四舍五入的原則知道,當時,精度達到。此時差限是0.0005,選項為C。

點評:該題考察了差限的定義,以及它對精度的影響。

題型4:應(yīng)用“二分法”求函數(shù)的零點和方程的近似解

例7. 解析:原方程即。令,

用計算器做出如下對應(yīng)值表

x

-2

-1

0

1

2

f(x)

2.5820

3.0530

27918

1.0794

-4.6974

觀察上表,可知零點在(1,2)內(nèi)

取區(qū)間中點=1.5,且,從而,可知零點在(1,1.5)內(nèi);

再取區(qū)間中點=1.25,且,從而,可知零點在(1.25,1.5)內(nèi);

同理取區(qū)間中點=1.375,且,從而,可知零點在(1.25,1.375)內(nèi);

由于區(qū)間(1.25,1.375)內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3。故結(jié)果是1.3。

點評:該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程,通過本題學(xué)會借助精度終止二分法的過程。

例8. 分析:本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數(shù)外,你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數(shù)?

略解:圖象在閉區(qū)間,上連續(xù)的單調(diào)函數(shù),在,上至多有一個零點。

點評:①第一步確定零點所在的大致區(qū)間,可利用函數(shù)性質(zhì),也可借助計算機或計算器,但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間,盡量縮短區(qū)間長度,通?纱_定一個長度為1的區(qū)間;

②建議列表樣式如下:

零點所在區(qū)間

中點函數(shù)值

區(qū)間長度

[1,2]

>0

1

[1,1.5]

<0

0.5

[1.25,1.5]

<0

0.25

如此列表的優(yōu)勢:計算步數(shù)明確,區(qū)間長度小于精度時,即為計算的最后一步。

題型5:一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點

例9. 分析:從二次方程的根分布看二次函數(shù)圖像特征,再根據(jù)圖像特征列出對應(yīng)的不等式(組)。

解析:(1)設(shè),

,知,

(2)令

,

,∴,∴,

綜上,。

評析:二次方程、二次函數(shù)、二次不等式三者密不可分。

例10.解析:設(shè),則的二根為。

(1)由,可得  ,即,

       兩式相加得,所以,;

(2)由, 可得  。

,所以同號。

,等價于

,

即  

解之得  。

點評:條件實際上給出了的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間,因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉(zhuǎn)化。

【課外作業(yè)】

1. 答案:A,令即可;

2. 答案:B;

3.答案:C,由可得關(guān)于對稱,∴,∴,∴,∵,∴。

4、 答案:D, ∵,∴, ∴

5. 答案:C,先求出,根據(jù)單調(diào)性求解;

五.思維總結(jié)

1.函數(shù)零點的求法:

①(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;

②(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。

2.解決二次函數(shù)的零點分布問題要善于結(jié)合圖像,從判別式、韋達定理、對稱軸、區(qū)間端點函數(shù)值的正負、二次函數(shù)圖像的開口方向等方面去考慮使結(jié)論成立的所有條件。函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切,聯(lián)系的方法就是數(shù)形結(jié)合。

 

 


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