題目列表(包括答案和解析)
設(shè)函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)記曲線在點(其中)處的切線為,與軸、軸所圍成的三角形面積為,求的最大值.
【解析】第一問利用由已知,所以,
由,得, 所以,在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減; 在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
第二問中,因為,所以曲線在點處切線為:.
切線與軸的交點為,與軸的交點為,
因為,所以,
, 在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞增,在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞減.所以,當時,有最大值,此時,
解:(Ⅰ)由已知,所以, 由,得, 所以,在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減;
在區(qū)間上,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(Ⅱ)因為,所以曲線在點處切線為:.
切線與軸的交點為,與軸的交點為,
因為,所以,
, 在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞增,在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞減.所以,當時,有最大值,此時,
所以,的最大值為
近年來,某市為了促進生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱。為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況,現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾,數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位:噸):
|
“廚余垃圾”箱 |
“可回收物”箱 |
“其他垃圾”箱 |
廚余垃圾 |
400 |
100 |
100 |
可回收物 |
30 |
240 |
30 |
其他垃圾 |
20 |
20 |
60 |
(Ⅰ)試估計廚余垃圾投放正確的概率
(Ⅱ)試估計生活垃圾投放錯誤的概率
(Ⅲ)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.當數(shù)據(jù)a,b,c,的方差最大時,寫出a,b,c的值(結(jié)論不要求證明),并求此時的值。
(注:,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))
【解析】(1)廚余垃圾投放正確的概率約為
(2)設(shè)生活垃圾投放錯誤為事件A,則事件表示生活垃圾投放正確。事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量,即約為,所以約為
(3)當時,方差取得最大值,因為,
所以
近年來,某市為了促進生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱。為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況,現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾,數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位:噸):
|
“廚余垃圾”箱 |
“可回收物”箱 |
“其他垃圾”箱 |
廚余垃圾 |
400 |
100 |
100 |
可回收物 |
30 |
240 |
30 |
其他垃圾 |
20 |
20 |
60 |
(Ⅰ)試估計廚余垃圾投放正確的概率
(Ⅱ)試估計生活垃圾投放錯誤的概率
(Ⅲ)假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.當數(shù)據(jù)a,b,c,的方差最大時,寫出a,b,c的值(結(jié)論不要求證明),并求此時的值。
(注:,其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù))
【解析】(1)廚余垃圾投放正確的概率約為
(2)設(shè)生活垃圾投放錯誤為事件A,則事件表示生活垃圾投放正確。事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量,即約為,所以約為
(3)當時,方差取得最大值,因為,
所以
設(shè)點是拋物線的焦點,是拋物線上的個不同的點().
(1) 當時,試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標,從而使得
;
(2)當時,若,
求證:;
(3) 當時,某同學對(2)的逆命題,即:
“若,則.”
開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.
請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究:
① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例(本研究方向最高得4分);
② 對任意給定的大于3的正整數(shù),試構(gòu)造該假命題反例的一般形式,并說明你的理由(本研究方向最高得8分);
③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真,請寫出你認為需要補充的一個條件,并說明加上該條件后,能使該逆命題為真命題的理由(本研究方向最高得10分).
【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向,則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.
【解析】第一問利用拋物線的焦點為,設(shè),
分別過作拋物線的準線的垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得到
第二問設(shè),分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得
第三問中①取時,拋物線的焦點為,
設(shè),分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
,
則,不妨取;;;
解:(1)拋物線的焦點為,設(shè),
分別過作拋物線的準線的垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
因為,所以,
故可取滿足條件.
(2)設(shè),分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.
由拋物線定義得
又因為
;
所以.
(3) ①取時,拋物線的焦點為,
設(shè),分別過作拋物線的準線垂線,垂足分別為.由拋物線定義得
,
則,不妨取;;;,
則,
.
故,,,是一個當時,該逆命題的一個反例.(反例不唯一)
② 設(shè),分別過作
拋物線的準線的垂線,垂足分別為,
由及拋物線的定義得
,即.
因為上述表達式與點的縱坐標無關(guān),所以只要將這點都取在軸的上方,則它們的縱坐標都大于零,則
,
而,所以.
(說明:本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點,均為反例.)
③ 補充條件1:“點的縱坐標()滿足 ”,即:
“當時,若,且點的縱坐標()滿足,則”.此命題為真.事實上,設(shè),
分別過作拋物線準線的垂線,垂足分別為,由,
及拋物線的定義得,即,則
,
又由,所以,故命題為真.
補充條件2:“點與點為偶數(shù),關(guān)于軸對稱”,即:
“當時,若,且點與點為偶數(shù),關(guān)于軸對稱,則”.此命題為真.(證略)
已知數(shù)列的前項和為,且 (N*),其中.
(Ⅰ) 求的通項公式;
(Ⅱ) 設(shè) (N*).
①證明: ;
② 求證:.
【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用關(guān)系式,表示通項公式,然后得到第一問,第二問中利用放縮法得到,②由于,
所以利用放縮法,從此得到結(jié)論。
解:(Ⅰ)當時,由得. ……2分
若存在由得,
從而有,與矛盾,所以.
從而由得得. ……6分
(Ⅱ)①證明:
證法一:∵∴
∴
∴.…………10分
證法二:,下同證法一. ……10分
證法三:(利用對偶式)設(shè),,
則.又,也即,所以,也即,又因為,所以.即
………10分
證法四:(數(shù)學歸納法)①當時, ,命題成立;
②假設(shè)時,命題成立,即,
則當時,
即
即
故當時,命題成立.
綜上可知,對一切非零自然數(shù),不等式②成立. ………………10分
②由于,
所以,
從而.
也即
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