設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）記曲線在點（其中）處的切線為，與軸、軸所圍成的三角形面積為，求的最大值.

【解析】第一問利用由已知，所以，

由，得， 所以，在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減； 在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

第二問中，因為，所以曲線在點處切線為：.

切線與軸的交點為，與軸的交點為，

因為，所以，  

， 在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時，有最大值，此時，

解：（Ⅰ）由已知，所以， 由，得，  所以，在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減； 

在區(qū)間上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；  

即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（Ⅱ）因為，所以曲線在點處切線為：.

切線與軸的交點為，與軸的交點為，

因為，所以，  

， 在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時，有最大值，此時，

所以，的最大值為

 

近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱。為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）：

	“廚余垃圾”箱	“可回收物”箱	“其他垃圾”箱
廚余垃圾	400	100	100
可回收物	30	240	30
其他垃圾	20	20	60

（Ⅰ）試估計廚余垃圾投放正確的概率

（Ⅱ）試估計生活垃圾投放錯誤的概率

（Ⅲ）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a>0，a+b+c=600.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c,的方差最大時，寫出a,b,c的值（結(jié)論不要求證明），并求此時的值。

（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）

【解析】（1）廚余垃圾投放正確的概率約為

（2）設(shè)生活垃圾投放錯誤為事件A，則事件表示生活垃圾投放正確。事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量，即約為，所以約為

（3）當(dāng)時，方差取得最大值，因為，

所以

 

近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱。為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下（單位：噸）：

	“廚余垃圾”箱	“可回收物”箱	“其他垃圾”箱
廚余垃圾	400	100	100
可回收物	30	240	30
其他垃圾	20	20	60

（Ⅰ）試估計廚余垃圾投放正確的概率

（Ⅱ）試估計生活垃圾投放錯誤的概率

（Ⅲ）假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c,其中a>0，a+b+c=600.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c,的方差最大時，寫出a,b,c的值（結(jié)論不要求證明），并求此時的值。

（注：，其中為數(shù)據(jù)的平均數(shù)）

【解析】（1）廚余垃圾投放正確的概率約為

（2）設(shè)生活垃圾投放錯誤為事件A，則事件表示生活垃圾投放正確。事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量，即約為，所以約為

（3）當(dāng)時，方差取得最大值，因為，

所以

 

設(shè)點是拋物線的焦點，是拋物線上的個不同的點（）.

（1） 當(dāng)時，試寫出拋物線上的三個定點、、的坐標(biāo)，從而使得

；

（2）當(dāng)時，若，

求證：；

（3） 當(dāng)時，某同學(xué)對（2）的逆命題，即：

“若，則.”

開展了研究并發(fā)現(xiàn)其為假命題.

請你就此從以下三個研究方向中任選一個開展研究：

① 試構(gòu)造一個說明該逆命題確實是假命題的反例（本研究方向最高得4分）；

② 對任意給定的大于3的正整數(shù)，試構(gòu)造該假命題反例的一般形式，并說明你的理由（本研究方向最高得8分）；

③ 如果補充一個條件后能使該逆命題為真，請寫出你認(rèn)為需要補充的一個條件，并說明加上該條件后，能使該逆命題為真命題的理由（本研究方向最高得10分）.

【評分說明】本小題若填空不止一個研究方向，則以實得分最高的一個研究方向的得分作為本小題的最終得分.

【解析】第一問利用拋物線的焦點為，設(shè)，

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得到

第二問設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

第三問中①取時，拋物線的焦點為，

設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；

解：（1）拋物線的焦點為，設(shè)，

分別過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

 

因為，所以，

故可取滿足條件.

（2）設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.

由拋物線定義得

   又因為

；

所以.

（3） ①取時，拋物線的焦點為，

設(shè)，分別過作拋物線的準(zhǔn)線垂線，垂足分別為.由拋物線定義得

，

則，不妨取；；；，

則，

.

故，，，是一個當(dāng)時，該逆命題的一個反例.(反例不唯一)

② 設(shè)，分別過作

拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，

由及拋物線的定義得

，即.

因為上述表達(dá)式與點的縱坐標(biāo)無關(guān)，所以只要將這點都取在軸的上方，則它們的縱坐標(biāo)都大于零，則

，

而，所以.

（說明：本質(zhì)上只需構(gòu)造滿足條件且的一組個不同的點，均為反例.）

③ 補充條件1：“點的縱坐標(biāo)（）滿足 ”，即：

“當(dāng)時，若，且點的縱坐標(biāo)（）滿足，則”.此命題為真.事實上，設(shè)，

分別過作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，由，

及拋物線的定義得，即，則

，

又由，所以，故命題為真.

補充條件2：“點與點為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱”，即：

“當(dāng)時，若，且點與點為偶數(shù)，關(guān)于軸對稱，則”.此命題為真.（證略）

 

已知數(shù)列的前項和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項公式；

(Ⅱ) 設(shè) (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用關(guān)系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結(jié)論。

解：(Ⅰ)當(dāng)時，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設(shè)，，

則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即

                    ………10分

證法四：（數(shù)學(xué)歸納法）①當(dāng)時, ,命題成立;

   ②假設(shè)時,命題成立,即,

   則當(dāng)時,

    即

即

故當(dāng)時，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數(shù)，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即