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（本題12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn).（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)向橢圓的長(zhǎng)軸做垂線，垂足為Q求線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程；

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一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

D

B

A

C

B

C

B

C

C

A

A

D

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分

13、　－1　　　　14、　　　24/5　　　15、　16/3　　　　　16、　① ②

解：由 得 P ( 1,－1)

   據(jù)題意，直線l與直線垂直，故l斜率

   ∴ 直線l方程為   即 .      

解：連結(jié)PO，得

當(dāng)PO通過圓心時(shí)有最大值和最小值

解：設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各車皮，利潤(rùn)總額為元，那么

畫圖得當(dāng)時(shí)總額的最大值為30000

解：（1）

（2）或0

解：（1）設(shè)A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）,AB的方程為y-1=k(x-2) 即y=kx+1-2k①

  ∵離心率e=∴橢圓方程可化為②

將①代入②得（1+2k²）x²+4(1-2k)?kx+2(1-2k)²-2b²=0

∵x₁+x₂=    ∴k=-1

∴x₁x₂=  又  ∴

即   ∴b²=8     ∴

(2)設(shè)（不妨設(shè)m<n）則由第二定義知

即    或

∴         或

解：由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ),

   設(shè) P ( x, y ),  C ( x₀, y₀ ) ,  則 D (x₀, －y₀ ),

   由A、C、P三點(diǎn)共線得                    ①

   由D、B、P三點(diǎn)共線得                    ②

①×② 得                              ③

又 x₀² + y₀² = 1,   ∴ y₀² = 1－x₀²   代入③得  x²－y² = 1，

即點(diǎn)P在雙曲線x²－y² = 1上， 故由雙曲線定義知，存在兩個(gè)定點(diǎn)E (－, 0 )、

F (, 0 )（即此雙曲線的焦點(diǎn)），使 | | PE |－| PF | | = 2  (即此雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)) 為定值.