題目列表(包括答案和解析)
對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列B:b1,b2, …,bm,定義變換T2,T2將數(shù)列B各項(xiàng)從大到小排列,然后去掉所有為零的項(xiàng),得到數(shù)列T2(B):又定義
S(B)=2(b1+2b2+…+mbm)+b21+b22+…+b2m.
設(shè)A0是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2, …)
(Ⅰ)如果數(shù)列A0為5,3,2,寫出數(shù)列A1,A2;
(Ⅱ)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A,證明S(T1(A))=S(A);
(Ⅲ)證明:對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A0,存在正整數(shù)K,當(dāng)k≥K時(shí),S(Ak+1)=S(Ak).
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9. 10. 11.5 10 12.
13.② 14.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
15.(共13分)
解:(Ⅰ)
.
因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為,且,
所以,解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
因?yàn)?sub>,
所以,
所以,
因此,即的取值范圍為.
16.(共14分)
解法一:
(Ⅰ)取中點(diǎn),連結(jié).
,
.
,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ),,
.
又,
.
又,即,且,
平面.
取中點(diǎn).連結(jié).
,.
是在平面內(nèi)的射影,
.
是二面角的平面角.
在中,,,,
.
二面角的大小為.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,
平面平面.
過作,垂足為.
平面平面,
平面.
的長即為點(diǎn)到平面的距離.
由(Ⅰ)知,又,且,
平面.
平面,
.
在中,,,
.
.
點(diǎn)到平面的距離為.
解法二:
(Ⅰ),,
.
又,
.
,
平面.
平面,
.
(Ⅱ)如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.
則.
設(shè).
,
,.
取中點(diǎn),連結(jié).
,,
,.
是二面角的平面角.
,,,
.
二面角的大小為.
(Ⅲ),
在平面內(nèi)的射影為正的中心,且的長為點(diǎn)到平面的距離.
如(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系.
,
點(diǎn)的坐標(biāo)為.
.
點(diǎn)到平面的距離為.
17.(共13分)
解:(Ⅰ)記甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)為事件,那么,
即甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)的概率是.
(Ⅱ)記甲、乙兩人同時(shí)參加同一崗位服務(wù)為事件,那么,
所以,甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是.
(Ⅲ)隨機(jī)變量可能取的值為1,2.事件“”是指有兩人同時(shí)參加崗位服務(wù),
則.
所以,的分布列是
1
3
18.(共13分)
解:
.
令,得.
當(dāng),即時(shí),的變化情況如下表:
0
當(dāng),即時(shí),的變化情況如下表:
0
所以,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
當(dāng),即時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減.
19.(共14分)
解:(Ⅰ)由題意得直線的方程為.
因?yàn)樗倪呅?sub>為菱形,所以.
于是可設(shè)直線的方程為.
由得.
因?yàn)?sub>在橢圓上,
所以,解得.
設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為,
則,,,.
所以.
所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
由四邊形為菱形可知,點(diǎn)在直線上,
所以,解得.
所以直線的方程為,即.
(Ⅱ)因?yàn)樗倪呅?sub>為菱形,且,
所以.
所以菱形的面積.
由(Ⅰ)可得,
所以.
所以當(dāng)時(shí),菱形的面積取得最大值.
20.(共13分)
(Ⅰ)解:,
,
;
,
.
(Ⅱ)證明:設(shè)每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列為,
則為,,,,,
從而
.
又,
所以
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