(Ⅲ)證明:對于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列.存在正整數(shù).當(dāng)時(shí).．[標(biāo)準(zhǔn)答案]: [高考考點(diǎn)]: 數(shù)列[易錯(cuò)提醒]: 入口出錯(cuò)[備考提示]: 由一個(gè)數(shù)列為基礎(chǔ).按著某種規(guī)律新生出另一個(gè)數(shù)列的題目.新數(shù)列的前幾項(xiàng)一定不難出錯(cuò).它出錯(cuò).則整體出錯(cuò). 2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（08年北京卷理）（本小題共13分）

對于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列

．

對于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列；又定義

．

設(shè)是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令．

（Ⅰ）如果數(shù)列為5，3，2，寫出數(shù)列；

（Ⅱ）對于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，證明；

（Ⅲ）證明：對于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．

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（08年北京卷理）（本小題共13分）

對于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列變換成數(shù)列

．

對于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列，定義變換，將數(shù)列各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列；又定義

．

設(shè)是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令．

（Ⅰ）如果數(shù)列為5，3，2，寫出數(shù)列；

（Ⅱ）對于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列，證明；

（Ⅲ）證明：對于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，．

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對于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列A:a1,a2,…,an,定義變換T1，T1將數(shù)列A變換成數(shù)列T1A．：n,a1-1,a2-1,…,an-1.

對于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列B：b1,b2, …,bm,定義變換T2，T2將數(shù)列B各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列T2（B）：又定義

S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b21+b22+…+b2m. 

設(shè)A0是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2, …)

（Ⅰ）如果數(shù)列A0為5，3，2，寫出數(shù)列A1,A2；

（Ⅱ）對于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A，證明S（T1A．）=SA．；

（Ⅲ）證明：對于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A0，存在正整數(shù)K，當(dāng)k≥K時(shí)，S(Ak+1)=S(Ak).

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對于各項(xiàng)均為正數(shù)且各有m項(xiàng)的數(shù)列{an}，{bn}，按如下方法定義數(shù)列{tn}：t=0，
（n=1，2…m），并規(guī)定數(shù)列{an}到{bn}的“并和”為Sab=a1+a2+…+an+tm．
（Ⅰ）若m=3，數(shù)列{an}為3，7，2；數(shù)列{bn}為5，4，6，試求出t1、t2、t3的值以及數(shù)列{an}到{bn}的并和Sab；
（Ⅱ）若m=4，數(shù)列{an}為3，2，3，4；數(shù)列{bn}為6，1，x，y，且Sab=17，求證：y≤5；
（Ⅲ）若m=6，下表給出了數(shù)列{an}，{bn}：

如果表格中各列（整列）的順序可以任意排列，每種排列都有相應(yīng)的并和Sab，試求Sab的最小值，并說明理由．

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對于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列A:a1,a2,…,an,定義變換T1，T1將數(shù)列A變換成數(shù)列T1（A）：n,a1-1,a2-1,…,an-1.

對于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列B：b1,b2, …,bm,定義變換T2，T2將數(shù)列B各項(xiàng)從大到小排列，然后去掉所有為零的項(xiàng)，得到數(shù)列T2（B）：又定義

S（B）=2（b1+2b2+…+mbm）+b21+b22+…+b2m.

設(shè)A0是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列，令Ak+1=T2(T1(Ak))(k=0,1,2, …)

（Ⅰ）如果數(shù)列A0為5，3，2，寫出數(shù)列A1,A2；

（Ⅱ）對于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列A，證明S（T1（A））=S（A）；

（Ⅲ）證明：對于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列A0，存在正整數(shù)K，當(dāng)k≥K時(shí)，S(Ak+1)=S(Ak).

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一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）

1．D      2．A      3．B       4．D      5．B       6．C       7．C       8．B

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分）

9．           10．           11．5      10           12．            

13．②           14． 

三、解答題（本大題共6小題，共80分）

15．（共13分）

解：（Ⅰ）

．

因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，

所以，解得．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得．

因?yàn)?sub>，

所以，

所以，

因此，即的取值范圍為．

16．（共14分）

解法一：

（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

，

．

，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ），，

．

又，

．

又，即，且，

平面．

取中點(diǎn)．連結(jié)．

，．

是在平面內(nèi)的射影，

．

是二面角的平面角．

在中，，，，

．

二面角的大小為．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

過作，垂足為．

平面平面，

平面．

的長即為點(diǎn)到平面的距離．

由（Ⅰ）知，又，且，

平面．

平面，

．

在中，，，

．

．

點(diǎn)到平面的距離為．

解法二：

（Ⅰ），，

．

又，

．

，

平面．

平面，

．

（Ⅱ）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系．

則．

設(shè)．

，

，．

取中點(diǎn)，連結(jié)．

，，

，．

是二面角的平面角．

，，，

．

二面角的大小為．

（Ⅲ），

在平面內(nèi)的射影為正的中心，且的長為點(diǎn)到平面的距離．

如（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系．

，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

．

點(diǎn)到平面的距離為．

17．（共13分）

解：（Ⅰ）記甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)為事件，那么，

即甲、乙兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)的概率是．

（Ⅱ）記甲、乙兩人同時(shí)參加同一崗位服務(wù)為事件，那么，

所以，甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是．

（Ⅲ）隨機(jī)變量可能取的值為1，2．事件“”是指有兩人同時(shí)參加崗位服務(wù)，

則．

所以，的分布列是

1

3

 

18．（共13分）

解：

．

令，得．

當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：

0

當(dāng)，即時(shí)，的變化情況如下表：

0

所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減．

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

當(dāng)，即時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．

19．（共14分）

解：（Ⅰ）由題意得直線的方程為．

因?yàn)樗倪呅?sub>為菱形，所以．

于是可設(shè)直線的方程為．

由得．

因?yàn)?sub>在橢圓上，

所以，解得．

設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

則，，，．

所以．

所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

由四邊形為菱形可知，點(diǎn)在直線上，

所以，解得．

所以直線的方程為，即．

（Ⅱ）因?yàn)樗倪呅?sub>為菱形，且，

所以．

所以菱形的面積．

由（Ⅰ）可得，

所以．

所以當(dāng)時(shí)，菱形的面積取得最大值．

20．（共13分）

（Ⅰ）解：，

，

；

，

．

（Ⅱ）證明：設(shè)每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列為，

則為，，，，，

從而

．

又，

所以

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