1。命題預(yù)測(cè)

直線與圓是最基本的圖形，是解析幾何的基本內(nèi)容，也是高考必考查的內(nèi)容，試題多為選擇和填空題，難度適中，屬基本要求，但偶有與圓有關(guān)問(wèn)題的解答題，其解答難度則可能較大。試題常在直線的圖象、求直線方程，直線 的平行與垂直的位置關(guān)系，求圓面積的方程與有關(guān)圓的軌跡問(wèn)題上作重點(diǎn)考查。同時(shí)有關(guān)對(duì)稱問(wèn)題也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題，其中直線與圓的位置關(guān)系與對(duì)稱問(wèn)題出現(xiàn)頻率較高。而隨著平面向量的出現(xiàn)，向量與直線或圓的綜合問(wèn)題則是一直高考的新熱點(diǎn)。

圓錐曲線是平面解析幾何的核心內(nèi)容，因而是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容。在每年的高考中一般有兩道選擇或填空題以及一道解答題。兩道小題目通常是一道較易的“低檔”題與一道“中檔”題，主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能以及基本方法的靈活運(yùn)用，特別是要注意離心率的考察。而解答題則是注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)語(yǔ)言的考查，重視對(duì)圓錐曲線定義的應(yīng)用的考查。求軌跡以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的考題，將注重考查與一元二次方程有關(guān)的判別式、韋達(dá)定理等腰三角形的應(yīng)用。

4、(2008學(xué)年度第一學(xué)期上海市普陀區(qū)高三年級(jí)質(zhì)量調(diào)研第16題)(本題滿分12分)設(shè)點(diǎn)在橢圓的長(zhǎng)軸上，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn). 當(dāng)的模最小時(shí)，點(diǎn)恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

答案：解：設(shè)為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，由于橢圓方程為，故．

因?yàn)?sub>，所以

　　 推出．

依題意可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值．而，

故有，解得．

又點(diǎn)在橢圓的長(zhǎng)軸上，即. 故實(shí)數(shù)的取值范圍是．

[點(diǎn)評(píng)]與圓錐曲線有關(guān)的最值問(wèn)題、參數(shù)范圍問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)需根據(jù)具體問(wèn)題靈活的運(yùn)用平面幾何、函數(shù)、不等式等知識(shí)，正確的構(gòu)造出圓錐曲線與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系。

3、(金麗衢十二校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(理科))

已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)、、三點(diǎn)．

(1)求橢圓的方程：

(2)若點(diǎn)D為橢圓上不同于、的任意一點(diǎn)，，當(dāng)內(nèi)切圓的面積最大時(shí)。求內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)；

(3)若直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，證明直線與直線的交點(diǎn)在直線上．

[解析](1)設(shè)橢圓方程為

將、、代入橢圓E的方程，得

解得.

∴橢圓的方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

(2)，設(shè)邊上的高為

　　 　　 當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)時(shí)，最大為，所以的最大值為．

　　 　　 設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，因?yàn)?sub>的周長(zhǎng)為定值6．所以，

　 　　 所以的最大值為．所以內(nèi)切圓圓心的坐標(biāo)為　　　　 　 (10分)

(3)法一：將直線代入橢圓的方程并整理．

得．

設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)，

由根系數(shù)的關(guān)系，得．

直線的方程為：，它與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為

同理可求得直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

下面證明、兩點(diǎn)重合，即證明、兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等：

，

因此結(jié)論成立．

綜上可知．直線與直線的交點(diǎn)住直線上．　　　　　 (16分)

法二：直線的方程為：

由直線的方程為：，即

由直線與直線的方程消去，得

∴直線與直線的交點(diǎn)在直線上．

[點(diǎn)評(píng)]本題是將直線、圓與橢圓結(jié)合運(yùn)用方程思想解題。

2、(遼寧省部分重點(diǎn)中學(xué)協(xié)作體2008年高考模擬)

在正△ABC中，D∈AB，E∈AC，向量，則以B，C為焦點(diǎn)，且過(guò)D，E的雙曲線的離心率為　　　　　 　　　　　　　　　　　 (　　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．

[解析]D.

[點(diǎn)評(píng)]由幾何圖形的性質(zhì)得到關(guān)于a,b,c的齊次等式

1.(遼寧省沈陽(yáng)二中2008-2009學(xué)年上學(xué)期高三期中考試)

直線恒過(guò)定點(diǎn)C，圓C是以點(diǎn)C為圓心，以4為半徑的圓。

(1)求圓C的方程；

(2)設(shè)圓M的方程為上任意一點(diǎn)P分別作圓C的兩條切線PE、PF，切點(diǎn)為E、F，求的最大值和最小值。

[解析](1)，

(2)設(shè)則

在，

由圓的幾何性質(zhì)得

，由此可得

的最大值為－最小值為－8

[點(diǎn)評(píng)]向量與解析幾何結(jié)合是高考命題的重要趨勢(shì)，本題難度不大。但是如果不能將“向量語(yǔ)言”準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化為“函數(shù)語(yǔ)言”，或在解題中不細(xì)心都可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。切記：“細(xì)節(jié)決定成敗”

即點(diǎn)總在定直線上

[點(diǎn)評(píng)]本題第一問(wèn)是直接待定系數(shù)求出方程，第二問(wèn)本質(zhì)也是求動(dòng)點(diǎn)軌跡是一條直線采用交軌法和參數(shù)法可求解。另外第二問(wèn)還可以利用直線的參數(shù)方程解題。

4、(廣東卷18)．(本小題滿分14分)

設(shè)，橢圓方程為，拋物線方程為．如圖4所示，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，已知拋物線在點(diǎn)的切線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)．

(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

(2)設(shè)分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，請(qǐng)指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說(shuō)明理由(不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo))．

[解析](1)由得，

當(dāng)得，G點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，過(guò)點(diǎn)G的切線方程為即，令得，點(diǎn)的坐標(biāo)為，由橢圓方程得點(diǎn)的坐標(biāo)為，

即，即橢圓和拋物線的方程分別為和；

(2)過(guò)作軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),以為直角的只有一個(gè)，

同理 以為直角的只有一個(gè)。

若以為直角，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，

。

關(guān)于的二次方程有一大于零的解，有兩解，

即以為直角的有兩個(gè)，

因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得為直角三角形。

(四)　 圓錐曲線

1、(08福建卷11)又曲線(a＞0,b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁、F₂,若P為其上一點(diǎn)，且|PF₁|=2|PF₂|,則雙曲線離心率的取值范圍為(B)

A.(1,3)　　　　　　　　　 B.　　　　　 C.(3,+)　　 D.

[解]PF₁|-|PF₂|=|PF₂|=2a-a，故知e≤3又因?yàn)閑＞1,選B

[點(diǎn)評(píng)]圓錐曲線的幾何參量是高考重點(diǎn)，而幾何參量中的離心率又是重中之重。

[突破]解決離心率的求值或求范圍問(wèn)題，重要是找到的齊次等式或不等式。

2、(08陜西卷8)雙曲線(，)的左、右焦點(diǎn)分別是，過(guò)作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為( B　 )

A．　　　 B．　　 C．　　 D．

同上易知

3、(08安徽卷22)．(本小題滿分13分)

設(shè)橢圓過(guò)點(diǎn)，且著焦點(diǎn)為

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)當(dāng)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交與兩不同點(diǎn)時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)總在某定直線上

解 (1)由題意：

　　　　 　，解得，所求橢圓方程為

(2)方法一

　設(shè)點(diǎn)Q、A、B的坐標(biāo)分別為。

由題設(shè)知均不為零，記,則且

又A，P，B，Q四點(diǎn)共線，從而

于是　　　　　 ，　　　

　　　　　　　 ，　　

從而

　　　 ，(1)　 ，(2)

又點(diǎn)A、B在橢圓C上，即

　 (1)+(2)×2并結(jié)合(3)，(4)得

即點(diǎn)總在定直線上

方法二

設(shè)點(diǎn)，由題設(shè)，均不為零。

且

又 四點(diǎn)共線，可設(shè),于是

　　　　　 　　　　　　　　　　(1)

　　　　　 　　　　　　　　　　(2)

由于在橢圓C上，將(1)，(2)分別代入C的方程

整理得

　　　 (3)

　　　 (4)

(三) 直線與圓的位置關(guān)系

1、 (2008海南、寧夏文)已知m∈R，直線l：和圓C：。

(1)求直線l斜率的取值范圍；

(2)直線l能否將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段圓�。繛槭裁矗�

[解](Ⅰ)直線的方程可化為，

直線的斜率，

因?yàn)?sub>，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．

所以，斜率的取值范圍是．

(Ⅱ)不能．

由(Ⅰ)知的方程為

，其中．

圓的圓心為，半徑．

圓心到直線的距離

．

由，得，即．從而，若與圓相交，則圓截直線所得的弦所對(duì)的圓心角小于．

所以不能將圓分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段弧．

[點(diǎn)評(píng)]此題考查了直線方程，函數(shù)求值域，直線與圓的位置關(guān)系。難度不大但很好的綜合了以上知識(shí)點(diǎn)。

[突破]注意把直線方程中的換成k使表達(dá)簡(jiǎn)單，減小運(yùn)算量。

(二)圓

1、(2008上海文、理)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是一個(gè)與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別相切于點(diǎn)C、D的定圓所圍成的區(qū)域(含邊界)，A、B、C、D是該圓的四等分點(diǎn)．若點(diǎn)、點(diǎn)滿足且，則稱P優(yōu)于．如果中的點(diǎn)滿足：

不存在中的其它點(diǎn)優(yōu)于Q，那么所有這樣的點(diǎn)Q組成的集合是劣弧(　D　)

A．　　 B． 　　　C．　　　 D． 　

[解]由題意可知Q點(diǎn)一定是圓上的一段弧且縱坐標(biāo)較大橫坐標(biāo)較小，

故知是上半圓的左半弧。

[點(diǎn)評(píng)]此題是一個(gè)情景創(chuàng)設(shè)題，考查學(xué)生的應(yīng)變能力。

[突破]Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)較大，橫坐標(biāo)較小。

2、(2008天津文)已知圓的圓心與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱．直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則圓的方程為　　 　　

[解]利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程待定系數(shù)易得結(jié)果。

[點(diǎn)評(píng)]此題雖小但考查到了對(duì)稱、直線與圓相交、圓的方程等知識(shí)。

[突破]利用對(duì)稱求出圓心坐標(biāo)，利用直角三角形解出半徑。

(一)直線

1、(2008四川文、理) 直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向右平移1個(gè)單位，所得到的直線為( A )

(A)　(B)　(C)　(D)

[解]∵直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的直線為，從而淘汰(C)，(D)

　　　 又∵將向右平移1個(gè)單位得，即　 故選A；

[點(diǎn)評(píng)]此題重點(diǎn)考察互相垂直的直線關(guān)系，以及直線平移問(wèn)題；

[突破]熟悉互相垂直的直線斜率互為負(fù)倒數(shù)，過(guò)原點(diǎn)的直線無(wú)常數(shù)項(xiàng)；重視平移方法：“左加右減”；

2、 (2008江蘇) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形的頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在線段AO上的一點(diǎn)(異于端點(diǎn))，這里均為非零實(shí)數(shù)，設(shè)直線分別與邊交于點(diǎn)，某同學(xué)已正確求得直線的方程為，請(qǐng)你完成直線的方程： (　 　)。

[解]畫(huà)草圖，由對(duì)稱性可猜想填．事實(shí)上，由截距式可得直線AB：，直線CP： ，兩式相減得，顯然直線AB與CP 的交點(diǎn)F 滿足此方程，又原點(diǎn)O 也滿足此方程，故為所求直線OF 的方程．[答案]

[點(diǎn)評(píng)]本小題考查直線方程的求法．

[突破]注意觀察出對(duì)稱性。