2．(2008年上海春卷，數(shù)學，8)已知一個凸多面體共有9個面，所有棱長均為1，其平面展開圖如右圖所示，則該凸多面體的體積　　　　　　 .

[解析]本題考查空間想象能力及相應(yīng)幾何體的體積，由題知，凸多面體是由一個棱為1的正四棱錐和一個棱長為1的正方體并接而成，正四棱錐的高為

[答案]

1．(2008年廣東卷，數(shù)學理科，5，數(shù)學文科，7)將正三棱柱截去三個角(如圖1所示分別是三邊的中點)得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖(或稱左視圖)為( 　)

[解析]本題考查幾何體的三視圖，解題時在圖2的右邊放扇墻(心中有墻),可得答案.

[答案]A

09考試大綱中，對本節(jié)的要求如下：

(1)空間幾何體

�、� 認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).

�、� 能畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖.

�、� 會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.

�、� 會畫某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴格要求).

�、� 了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式(不要求記憶公式).

　(2)點、直線、平面之間的位置關(guān)系

�、� 理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.

　◆公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點在此平面內(nèi).

　◆公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.

　◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.

　◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

　◆定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補.

�、� 以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.

　理解以下判定定理.

　◆如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.

　◆如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.

　◆如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.

　◆如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.

　理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明.

　◆如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行.

　◆如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行.

　◆垂直于同一個平面的兩條直線平行.

　◆如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直.

③ 能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.

2．08屆莆田四中5月份第2次模擬試卷(本小題滿分12分)已知，如圖四棱錐中，底面是平行四邊形，，垂足在上，且，，，，是的中點.

(1)求異面直線與所成的角；

(2)求點到平面的距離；

(3)若點是棱上一點，且，求的值.

解法一：(1)在平面內(nèi)，過點作交于，連結(jié)，

則(或其補角)就是異面直線與所成的角.

在中，，

由余弦定理得，=

∴異面直線與所成的角為arccos

(2)∵平面，平面∴平面⊥平面

在平面內(nèi)，過作，交延長線于，則⊥平面

∴的長就是點到平面的距離

在，∴點到平面的距離為

(3)在平面內(nèi)，過作，為垂足，連結(jié)，又因為

∴平面， ∴

由平面⊥平面，∴⊥平面 ∴

由得：

解法二：(1)由已知∴

如圖所示，以G點為原點建立空間直角坐標系o-xyz，則

，，故

∴異面直線與所成的角為arccos　 4分

(2)平面PBG的單位法向量

∴點到平面的距離為　 ------------- 8分

(3)設(shè)

在平面內(nèi)過點作，為垂足，則 　　-------------　 12分

2．寧夏銀川一中2008屆高三年級第三次模擬考試

(本小題共12分)

在三棱錐中，，

.

　 (Ⅰ)證明：⊥；

　 (Ⅱ)求二面角A-BC-S的大��；

　 (Ⅲ)求直線AB與平面SBC所成角的正弦值.

解法一：

解：(Ⅰ)且平面.-------------2分　　　　　　　　　

為在平面內(nèi)的射影.　　　　 --------3分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又⊥, ∴⊥.　　　　　　 ----------4分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)⊥，又⊥，

∴為所求二面角的平面角.　　　　 -------6分

又∵==4,

∴=4 . 　∵=2 , ∴=60°. -------8分

即二面角大小為60°.

(Ⅲ)過作于D，連結(jié),　　　　　　

由(Ⅱ)得平面平面,又平面,

∴平面平面,且平面平面,

∴平面.

∴為在平面內(nèi)的射影.

. --------10分

在中，，

在中，，.

∴ =.　　　　　　　　　　　 ------------11分　　　　　　　　　　　　

所以直線與平面所成角的大小為.　　　　 ----12分　　　　　　　　

解法二：解：(Ⅰ)由已知，

以點為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.　　　　　　　　　　 　　　　　

則 ,.　　　　　　 -------2分　

則，.

.　　　

.　　　 ----------------4分

　 (Ⅱ)，平面.

是平面的法向量. -------5分

設(shè)側(cè)面的法向量為,

,.

,

　 　　.令則.

則得平面的一個法向量.　　　　　　　 ---------6分

.　　　　

即二面角大小為60°.　　 ----------8分

(Ⅲ)由(II)可知是平面的一個法向量.　　 --------10分

又， .　 -----11分　　　　　　　　　　

所以直線與平面所成角為　　　　　 ---------12分

1．山東省萊蕪市2008屆高三年級期末考試

(本小題滿分20分)如圖，在三棱錐S-ABC中，SC⊥平面ABC，點P、M分別是SC和SB的中點，設(shè)PM=AC=1，∠ACB=90°，直線AM與直線SC所成的角為60°。

　 　 (1)求證：平面MAP⊥平面SAC。

　 (2)(文)求二面角M-AC-B的平面角的正切值；

(理)求二面角M-AB-C的平面角的余弦值；

　 (3)(文)求多面體PMABC的體積。

(理)求AP和CM所成角的余弦值。

解：(I)∵SC⊥平面ABC，SC⊥BC，又∵∠ACB=90°

∴AC⊥BC，AC∩SC=C，BC⊥平面SAC，…………1分

又∵P，M是SC、SB的中點

∴PM∥BC，PM⊥面SAC，∴面MAP⊥面SAC，…………1分

　 (II)(文科)∵AC⊥平面SAC，∴面MAP⊥面SAC.…………3分

　 ∴AC⊥CM，AC⊥CB，從而∠MCB為二面角M-ACB的平面角，

∵直線AM與直線PC所成的角為60°

　　 ∴過點M作MN⊥CB于N點，連結(jié)AN，

則∠AMN=60°.……………………4分

　　 在△CAN中，由勾股定理得

　　 在Rt△AMN中，

　　 =………………6分

　　 在Rt△CNM中，

　　 故二面角M-AB-C的正切值為.…………………………8分

　　 (理科)如圖以C為原點建立如圖所示空間直角坐標系C-xyz.

　　 則

　　 ……………………4分

　 　　 設(shè)平面MAB的一個法向量為，則

　　 由

　　 取z=……………………6分

　　 取平面ABC的一個法向量為

則

由圖知二面角M-AB-C為銳二面角，

故二面角M-AB-C的余弦值為………………8分

其他方法可參考本解法相應(yīng)給分。

(3)(文科)多面體PMABC就是四棱錐A-BCPM

V_PMABC=B_A-PMBC=

………………12分

(理科)………………9分

∴AP與CM所成角的余弦值為………………12分

5．山東省濰坊市2008年5月高三教學質(zhì)量檢測(本小題滿分12分)

　　 　　 如圖，三棱柱A₁B₁C₁-ABC的三視圖中，主視圖和左視圖是全等的矩形，俯視圖是等腰直角三角形，已知點M是A₁B₁的中點.

　 (1)求證：B₁C∥平面AC₁M；

　 (2)設(shè)AC與平面AC₁M的夾角為θ，求sinθ.

解：由三視圖可知三棱柱A₁B₁C₁-ABC為直三棱柱，側(cè)梭長為2，底面是等腰直角三角形，AC=BC=1.…………2分

　 　　 如圖建立空間直角坐標系C-xyz，

　　 則C(0，0，0)，C₁(0，0，2)，

　　 A(1，0，0)，B₁(0，1，2)，A₁(1，0，2)

　　 ∵M為A₁B₁中點，

　　 …………………………4分

　 (1)

　　 ……………………6分

　　 ∥面AC₁M，又∵B₁C面AC₁M，

　　 ∴B₁C∥面AC₁M.…………………………8分

　 (2)設(shè)平面AC₁M的一個法向量為

　　 …………………………………………………………10分

　　 則…………………………12分

4．山東省煙臺市2008年高三適應(yīng)性練習

(12分)如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中 點。

　 (1)求證：PB//平面EFG；

　 (2)求異面直線EG與BD所成的角的余弦值；

　 　 (3)在線段CD上是否存在一點Q，使得點A到平面EFQ的距離為，若存在，求出CQ的值；若不存在，請說明理由。

解法一：(1)證明：取AB為中點H，連結(jié)GH，HE，

∵E，F(xiàn)，G分別是線段PA、PD、CD的中點，

∴GH//AD//EF，

∴E，F(xiàn)，G，H四點共面�！�…………………1分

又H為AB中點，

∴EH//PB�！�…………………2分

又EH面EFG，PB平面EFG，

∴PB//面EFG�！�…………………4分

(2)解：取BC的中點M，連結(jié)GM、AM、EM，則GM//BD，

∴∠EGM(或其補角)就是異面直線EG與BD所成的角�！�…………………5分

在Rt△MAE中，

同理

∴在Rt△MGE中，………………6分

故異面直線EG與BD所成角的余弦值為……………………8分

(3)假設(shè)在線段CD上存在一點Q，滿足題設(shè)條件，過點Q作OR⊥AB于R，連結(jié)RE，則QR//AD。

　 ∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形 ，且PA=AD=2，

∴AD⊥AB，AD⊥PA

又ABPA=A，

∴AD⊥平面PAB。

又∵E，F(xiàn)分別是PA，PD中點，

∴EF//AD，

∴EF⊥平面PAB

又EF面EFQ，

∴EFQ⊥平面PAB。

過A作AT⊥ER于T，則AT⊥面EFQ，

∴AT就是點A到平面EFQ的距離。……………………10分

設(shè)

在Rt△EAR中，AT

解得。

故存在點Q，當時，點A到平面EFQ的距離為………………12分

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，

則A(0，0，0)，B(2，0，0，)，C(2，2，0)，

　 D(0，2，0)P(0，0，2)，E(0，0，1)，

F(0，1，1)，G(1，2，0)。

(1)證明：∵

………………1分

設(shè)

即(2，0，-2)=S(0，-1，0)+t(1，1，-1)

解得s=t=2

∴

又∵

∴共面。………………3分

∵

∴PB//平面EFG�！�…………………4分

(2)解∵……………………5分

∴

故平面直線EG與BD所成角的余弦值為………………8分

(3)假設(shè)在線段CD上存在一點Q滿足題設(shè)條件。

令，則DQ=2－m

∴點Q的坐標為()

∴

而，則

∴

令……………………10分

又(0，0，1)

∴點A到平面EFQ的距離…………11分

即

∴不合題意，舍去。

故存在點Q，當點A到平面EFQ的距離為………………12分

考點五、利用向量求線面角

3．山東省鄆城一中2007-2008學年第一學期高三期末考試

(理做Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；文做Ⅰ、Ⅳ)

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)

　 為CE上的點，且BF⊥平面ACE.

　 (Ⅰ)求證：AE⊥平面BCE；

　 (Ⅱ)求二面角B-AC-E的余弦值；

　 (Ⅲ)求點D到平面ACE的距離.

　 (Ⅳ)求證：平面BDF⊥平面ABCD

解法一：(Ⅰ)平面ACE.　 　

∵二面角D-AB-E為直二面角，且， 平面ABE.

(Ⅱ)連結(jié)BD交AC于C，連結(jié)FG，

∵正方形ABCD邊長為2，∴BG⊥AC，BG=，

平面ACE，

(Ⅲ)過點E作交AB于點O. OE=1.

∵二面角D-AB-E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

設(shè)D到平面ACE的距離為h，

平面BCE，　

　 ∴點D到平面ACE的距離為

解法二：(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)以線段AB的中點為原點O，OE所在直

線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點平行

于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標系

O-xyz，如圖.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中點，

　設(shè)平面AEC的一個法向量為，

則解得

　　 令得是平面AEC的一個法向量.

　　 又平面BAC的一個法向量為，

　　 ∴二面角B-AC-E的大小為

(III)∵AD//z軸，AD=2，∴，

∴點D到平面ACE的距離

考點四、利用向量證明平行

2. 2008年金華一中高考模擬試卷(本小題滿分14分)

如圖，已知正三棱柱， 是線段上一點，且∥平面。記。

　　 (1)求的值；

(2)若∠，求二面角的大�。�

解：(1)連結(jié)交于O，則O是的中點，連結(jié)DO。

∵∥平面，∴∥DO　 …………………………

∴D為AC中點，∴…………………

(2)設(shè)正三棱柱底面邊長為2，則DC = 1。

　∵∠ = 60°，∴= 。

作DE⊥BC于E。∵平面⊥平面ABC，

∴DE⊥平面，作EF⊥于F，連結(jié)DF，則 DF⊥

∴∠DFE是二面角D--C的平面角……………………

在Rt△DEC中，DE=，在Rt△BFE中，EF = BE·sin∠

∴在Rt△DEF中，tan∠DFE =

∴二面角D－－C的大小為arctan………………

解法二：以AC的中D為原點建立坐標系，如圖，

設(shè)| AD | = 1，∵∠ =60°∴|| =。

　 則A(1，0，0)，B(0，，0)，C(-1，0，0)，

(1，0)， ，

(2)=(-1，0，)，

　　 　設(shè)平面BD的法向量為，則，　 　 即

　 則有= 0令z = 1,則= (，0，1)………………

設(shè)平面BC的法向量為,=(0，0，)，

　 　 　　即　 ∴z′= 0

　　 　 令y = -1，解得= (，-1，0)，，

二面角D-B-C的大小為arc cos　　 …………

考點三、利用向量求距離