1.化簡(jiǎn)求值

(1)

(2)

(3)

解　 (1)原式=

(2)原式=

(3)原式=

5.如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m ²)與時(shí)間t(月)的關(guān)系：y=a^t,有以下敘述：①這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2；②第5

個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會(huì)超過(guò)30 m²;③浮萍從4 m²蔓延到12 m²需要經(jīng)過(guò)1.5個(gè)月；④浮萍每月增加的面積都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m²、3 m²、6 m²所經(jīng)過(guò)的時(shí)間分別為t₁、t₂、t₃,則t₁+t₂=t₃.其中正確的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

?A.①②　　　　　　　　　　　 　　　　?B.①②③④　

?C.②③④⑤　　　　　　　　　　　　　　 ?D.①②⑤　

答案?D?　

例1計(jì)算：(1)

(2)2

(3)

解　 (1)方法一 　利用對(duì)數(shù)定義求值

設(shè)

則

∴x=-1.

方法二 利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解

(2)原式=

=

(3)原式=

=

=

=

例2比較下列各組數(shù)的大小.

(1)log₃與log₅；

(2)log_1.10.7與log_1.20.7；

(3)已知比較2^b,2^a,2^c的大小關(guān)系.

解　 (1)∵log₃<log₃1=0,　

而log₅>log₅1=0,∴l(xiāng)og₃<log₅.　

(2)方法一　 ∵0<0.7<1,1.1<1.2,　

∴0>log_0.71.1>log_0.71.2,　

∴　

即由換底公式可得log_1.10.7<log_1.20.7.　

方法二　 作出y=log_1.1x與y=log_1.2x的圖象.　

如圖所示兩圖象與x=0.7相交可知log_1.10.7<log_1.20.7.　

(3)∵y=為減函數(shù)，且

∴b>a>c,而y=2^x是增函數(shù)，∴2^b>2^a>2^c.　

例3(12分)已知函數(shù)f(x)=log_ax (a>0,a≠1)，如果對(duì)于任意x∈［3，+∞)都有|f(x)|≥1成立，試求a的取值范圍.

解　 當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)于任意x∈［3，+∞)，都有f(x)>0.　

所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=log_ax在［3，+∞)上為增函數(shù)，

∴對(duì)于任意x∈［3，+∞)，有f(x)≥log_a3. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

因此，要使|f(x)|≥1對(duì)于任意x∈［3，+∞)都成立.　

只要log_a3≥1=log_aa即可，∴1<a≤3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　6分　

當(dāng)0<a<1時(shí)，對(duì)于x∈［3，+∞)，有f(x)<0,　

∴|f(x)|=-f(x).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分　

∵f(x)=log_ax在［3，+∞)上為減函數(shù)，　

∴-f(x)在［3，+∞)上為增函數(shù).　

∴對(duì)于任意x∈［3，+∞)都有|f(x)|=-f(x)≥-log_a3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

因此，要使|f(x)|≥1對(duì)于任意x∈［3，+∞)都成立，　

只要-log_a3≥1成立即可，　

∴l(xiāng)og_a3≤-1=log_a,即≤3,∴≤a<1.　

綜上，使|f(x)|≥1對(duì)任意x∈［3，+∞)都成立的a的取值范圍是：(1，3］∪［，1).　　　　　　　　　　　　 　12分　

例4　 已知過(guò)原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log₈x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log₂x的圖象交于C、D兩點(diǎn).　

(1)證明：點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一直線上；　

(2)當(dāng)BC平行于x軸時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo).　

(1)證明　 設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂,　

由題設(shè)知x₁>1,x₂>1,　

則點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)分別為log₈x₁、log₈x₂.　

因?yàn)锳、B在過(guò)點(diǎn)O的直線上，　

所以　

點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(x₁,log₂x₁)、(x₂,log₂x₂),　

由于log₂x₁==3log₈x₁,log₂x₂=3log₈x₂,　

OC的斜率為k₁=　

OD的斜率為k₂=　

由此可知k₁=k₂,即O、C、D在同一直線上.　

(2)解　 由于BC平行于x軸，知log₂x₁=log₈x₂，　

即得log₂x₁=log₂x₂,x₂=,

代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂，得　

由于x₁>1,知log₈x₁≠0,故=3x₁,　

又因x₁>1,解得x₁=,

于是點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，log₈).　

4.若f(x)=log_ax在［2，+∞)上恒有f(x)>1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.(，1)　　 ?　　　　　　　　　 B.(0，)∪(1，2)　

?C.(1，2)　　　　 ?　　　　　　　　　 D.(0，)∪(2，+∞)　

答案?C?　

3.已知log₇［log₃(log₂x)］=0，那么等于　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.　　　　　 ?B.?　　　　　 C.?　　　　　　 D.　

答案?C?　

2.已知3^a=5^b=A,且=2，則A的值是　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )　

?A.15　　　　　　 B.?　　　　 C.±?　　　　　 D.225　

答案?B?　

1.(2008·全國(guó)Ⅱ理，4)若x∈(e^-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln³x,則　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　(　　 )　

?A.a<b<c　　　　　 ?B.c<a<b　　　　 ?C.b<a<c　　　　　 ?D.b<c<a　

答案?C?　

12.已知f(x)=　

(1)判斷函數(shù)奇偶性；　

(2)證明：f(x)是定義域內(nèi)的增函數(shù)；　

(3)求f(x)的值域.　

(1)解　 ∵f(x)的定義域?yàn)镽，　

且f(-x)==-f(x)，　

∴f(x)是奇函數(shù).　

(2)證明　 方法一　 f(x)=　

令x₂＞x₁，則f(x₂)-f(x₁)　

=

當(dāng)x₂>x₁時(shí)，＞0.

又∵+1＞0，＞0，　

故當(dāng)x₂＞x₁時(shí)，f(x₂)-f(x₁)＞0，　

即f(x₂)＞f(x₁).所以f(x)是增函數(shù).　

方法二　 考慮復(fù)合函數(shù)的增減性.　

由f(x)=.　

∵y₁=10^x為增函數(shù)，　

∴y₂=10^2x+1為增函數(shù)，y₃=為減函數(shù)，　

y₄=-為增函數(shù)，　

f(x)=1-為增函數(shù).　

∴f(x)=在定義域內(nèi)是增函數(shù).　

(3)解　 方法一　 令y=f(x)，由y=　

解得　

∵10^2x＞0，∴-1＜y＜1.　

即f(x)的值域?yàn)?-1，1).　

方法二　 ∵f(x)=1-,∵10^2x＞0,∴10^2x+1＞1.　

∴0＜＜2,∴-1＜1-＜1,　

即值域?yàn)?-1,1).

§2.5 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

基礎(chǔ)自測(cè)

11.已知函數(shù)f(x)= (a>0，且a≠1).　

(1)判斷f(x)的單調(diào)性；　

(2)驗(yàn)證性質(zhì)f(-x)=-f(x),當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，并應(yīng)用該性質(zhì)求滿足f(1-m)+f(1-m²)<0的實(shí)數(shù)m的范圍.　

解　 (1)設(shè)x₁<x₂,x₁-x₂<0,1+>0.　

若a>1,則>0,　

所以f(x₁)-f(x₂)=<0,　

即f(x₁)<f(x₂),f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù)；　

同理，若0<a<1，則,　

f(x₁)-f(x₂)=　

即f(x₁)<f(x₂),f(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù).　

綜上，f(x)在R上為增函數(shù).　

(2)f(x)=　

則f(-x)= 　

顯然f(-x)=-f(x).　

f(1-m)+f(1-m²)<0,　

即f(1-m)<-f(1-m²)f(1-m)<f(m²-1),　

函數(shù)為增函數(shù)，且x∈(-1,1)，　

故解-1<1-m<m²-1<1,可得1<m<.　

10.已知函數(shù)f(x)=　

(1)求f(x)的定義域；　

(2)判斷f(x)的奇偶性；　

(3)證明：f(x)>0.　

(1)解　 由2^x-1≠0，得x≠0,　

∴定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞).　

(2)解　 由(1)得，f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

　f(x)= =　

則f(-x)=　

∴f(x)= 是偶函數(shù).　

(3)證明　 當(dāng)x>0時(shí)，2^x>1,x³>0.　

∴>0.　

∵f(x)為偶函數(shù)，∴當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=f(-x)>0.　

綜上可得f(x)>0.

9.要使函數(shù)y=1+2^x+4^xa在x∈(-∞，1］上y>0恒成立，求a的取值范圍.　

解　 由題意得1+2^x+4^xa>0在x∈(-∞,1］上恒成立，即a>-在x∈(-∞，1］上恒成立.　

又∵-

∵x∈(-∞，1］，∴()^x∈［，+∞).　

令t=()^x,則f(t)=-(t+)²+,　

t∈［，+∞)，　

則f(t)在［,+∞)上為減函數(shù)，　

f(t)≤f()=-(+)² +,　

即f(t)∈(-∞，-］.　

∵a>f(t),∴a∈(-，+∞).