Question

有若干名小朋友，第一名小朋友的糖果比第二名小朋友的糖果多2塊，第二名小朋友的糖果比第三名小朋友的糖果多2塊，…，即前一名小朋友總比后一名小朋友多2塊糖果．他們按次序圍成圓圈做游戲，從第一名小朋友開始給第二名小朋友2塊糖果，第二名小朋友給第三名小朋友4塊糖果，…，即每一名小朋友總是將前面?zhèn)鱽淼奶枪�再加上自己�?塊傳給下一名小朋友，當游戲進行到某一名小朋友收到上一名小朋友傳來的糖果但無法按規(guī)定給出糖果時，有兩名相鄰小朋友的糖果數的比是13：1，問最多有多少名小朋友？

Answer 1

考點：哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈

專題：傳統(tǒng)應用題專題

分析：設有n名小朋友，共傳k圈（最后一名傳k-1圈），中斷時各人手中糖數為a．先研究a的取值，0中斷（最后一名手中無糖可傳）時，a_n=2nk-2a_n-1=0，a₁=2n-4；1中斷（最后一名手中只有一塊糖）時，a_n=2nk-1，a_n-1=1，a₁=2n-3．分這六種情況進行討論，根據n、k的取值為整數，找出可能的人數即可求解．

解答： 解：設有n名小朋友，共傳k圈（最后一名傳k-1圈），中斷時各人手中糖數為a．先研究a的取值，0中斷（最后一名手中無糖可傳）時，a_n=2nk-2a_n-1=0，a₁=2n-4；1中斷（最后一名手中只有一塊糖）時，a_n=2nk-1，a_n-1=1，a₁=2n-3．分六種情況討論：
（1）0中斷，a_n：a_n-1=13：1，即

2nk-2

0

=

13

1

，顯然無解；

（2）0中斷，a_n：a₁=13：1，即

2nk-2

2n-4

=

13

1

?26n-52=2nk-2?n（13-k）=25，
可得n=25，k=12（n=5，k=8舍去）；

（3）0中斷，a₁：a_n=13：1，即

2n-4

2nk-2

=

13

1

?26nk-26=2n-4?n（13k-1）=11，無整數解；

（4）1中斷，a_n：a_n=13：1，即

2nk-1

1

=

13

1

?2nk-1=13?nk=7，
可得n=7，k=1（n=1，k=7舍去）；

（5）1中斷，a_n：a_n=13：1，即

2nk-1

2nk-3

=

13

1

?26n-39=2nk-1?n（13-k）=19，
可得n=19，k=12；

（6）1中斷，a₁：a_n=13：1，即

2n-3

2nk-1

=

13

1

?26nk-13=2n-3?n（13k-1）=5，無整數解．
由以上分析可得，最多有25位小朋友．
答：最多有25名小朋友．

點評：本題較復雜，根據中斷時最后一名手中糖的數量分情況進行討論求解．