Question

一個自然數(shù)N共有9個約數(shù)，而N-1恰有8個約數(shù)，滿足條件的自然數(shù)中，最小的和第二小的分別是多少？

Answer 1

考點：約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理

專題：整除性問題

分析：因為9=3×3=9×1，所以可以把N看做只有一個質(zhì)因數(shù)或兩個質(zhì)因數(shù)，進(jìn)一步從最小的質(zhì)因數(shù)考慮，逐步探討得出答案即可．

解答： 解：根據(jù)約數(shù)個數(shù)公式可知：
①當(dāng)N=aⁿ，即N只有一個質(zhì)因數(shù)時，
n+1=9，所以n=8，
這樣最小的N=2⁸=256，
N-1=255=3×5×17，
恰好有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8個約數(shù)，符合題意；
②當(dāng)N=aⁿ×b^m，即N有兩個質(zhì)因數(shù)時，
（n+1）（m+1）=9，
所以n=m=2，
這樣最小的N=2²×3²=36，N-1=35=5×7有（1+1）×（1+1）=4個約數(shù)，不符合題意；
第二小的N=2²×5²=50，N-1=49=7×7有（1+1）×（1+1）=4個約數(shù)，不符合題意；
第三小的N=2²×7²=196，N-1=195=3×5×13有（1+1）×（1+1）×（1+1）=8個約數(shù)，符合題意；
綜上所述，最小的N是196，第二小的是256．

點評：此題主要利用約數(shù)個數(shù)的計算方法：一個合數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是在嚴(yán)格分解質(zhì)因數(shù)之后，將每個質(zhì)因數(shù)的指數(shù)（次數(shù)）加1后所得的乘積．