Question

13．探索與發(fā)現(xiàn)：
已知△ABC，看圖填出（1）、（2）、（3）中的空并解答（4）、（5）中的問題．

（1）在圖1中，若D₁、E₁分別是AB、BC的中點，則陰影部分 與△ABC的面積比等于3：4．
（2）在圖2中，若D₁、D₂分別為AB的三等分點，E₁、E₂分別為BC的三等分點，則陰影部分 與△ABC的面積比等于2：3．
（3）在圖3中，若D₁、D₂、D₃分別為AB的四等分點，E₁、E₂、E₃分別為BC的四等分點，則陰影部分 與△ABC的面積比等于5：8．
（4）若設(shè)三角形邊AB、BC的等分點數(shù)都為a，請?zhí)剿鳎?）、（2）、（3）中陰影部分 與△ABC的面積關(guān)系，求出等分點數(shù)位a時，陰影部分 與△ABC的面積比等于多少？（用含a的代數(shù)式表示 ）．
（5）根據(jù)（4）中的結(jié)論求出在圖4中，若D₁、D₂、D₃，…D₈分別為AB的九等分點，E₁、E₂、E₃，…E₈分別為BC的九等分點時，陰影部分與△ABC的面積比等于多少？

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)D₁、E₁分別是AB、BC的中點，可得△BD₁E₁∽△BAC，所以${S}_{△{{BD}_{1}E}_{1}}{：S}_{△BAC}=1：4$，然后根據(jù)D₁是AB的中點，可得${S}_{△A{CD}_{1}}={\frac{1}{2}S}_{△ABC}$，據(jù)此求出陰影部分與△ABC的面積比等于多少即可．
（2）根據(jù)D₁、D₂分別為AB的三等分點，E₁、E₂分別為BC的三等分點，求出△BD₁E₁、△D₁D₂E₂、△ACD₂分別是△ABC的面積的幾分之幾，判斷出陰影部分與△ABC的面積比等于多少即可．
（3）根據(jù)D₁、D₂、D₃分別為AB的四等分點，E₁、E₂、E₃分別為BC的四等分點，求出△BD₁E₁、△D₁D₂E₂、△D₂D₃E₃、△ACD₃分別是△ABC的面積的幾分之幾，判斷出陰影部分與△ABC的面積比等于即可．
（4）根據(jù)（1）、（2）、（3）中陰影部分 與△ABC的面積關(guān)系，可得等分點數(shù)位a時，陰影部分與△ABC的面積比是（$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{a}^{2}}+…+\frac{a}{{a}^{2}}$）：1，據(jù)此解答即可．
（5）根據(jù)等分點數(shù)位a時，陰影部分與△ABC的面積比公式，求出E₁、E₂、E₃，…E₈分別為BC的九等分點時，陰影部分與△ABC的面積比等于多少即可．

解答 解：（1）因為D₁、E₁分別是AB、BC的中點，
所以△BD₁E₁∽△BAC，
所以${S}_{△{{BD}_{1}E}_{1}}{：S}_{△BAC}=1：4$，
即${S}_{△{{BD}_{1}E}_{1}}={\frac{1}{4}S}_{△ABC}$，
因為D₁是AB的中點，
所以${S}_{△A{CD}_{1}}={\frac{1}{2}S}_{△ABC}$，
所以陰影部分與△ABC的面積比等于：
（$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$）：1
=$\frac{3}{4}：1$
=3：4

（2）因為D₁、E₁分別是AB、BC的三等分點，
所以△BD₁E₁∽△BAC，
所以${S}_{△{{BD}_{1}E}_{1}}$${=（\frac{1}{3}）}^{2}$S_△ABC=$\frac{1}{9}$S_△ABC，
因為D₂、E₂分別是AB、BC的三等分點，
所以△BD₂E₂∽△BAC，
所以${S}_{△{{BD}_{2}E}_{2}}$=${（\frac{2}{3}）}^{2}$S_△ABC=$\frac{4}{9}$S_△ABC，
所以${S}_{{{{△D}_{1}D}_{2}E}_{2}}$=$\frac{2}{9}$S_△ABC，
因為${S}_{△A{CD}_{2}}$=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
所以陰影部分與△ABC的面積比等于：
（$\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{1}{3}$）：1
=$\frac{2}{3}：1$
=2：3

（3）因為D₁、E₁分別是AB、BC的四等分點，
所以△BD₁E₁∽△BAC，
所以${S}_{△{{BD}_{1}E}_{1}}$=${（\frac{1}{4}）}^{2}$S_△ABC=$\frac{1}{16}$S_△ABC，
因為D₂、E₂分別是AB、BC的四等分點，
所以△BD₂E₂∽△BAC，
所以${S}_{△{{BD}_{2}E}_{2}}$=${（\frac{1}{2}）}^{2}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
所以${S}_{{{{△D}_{1}D}_{2}E}_{2}}$=$\frac{1}{8}$S_△ABC，
因為D₃、E₃分別是AB、BC的四等分點，
所以△BD₃E₃∽△BAC，
所以${S}_{△{{BD}_{3}E}_{3}}$=${（\frac{3}{4}）}^{2}$S_△ABC=$\frac{9}{16}$S_△ABC，
所以${S}_{{{{△D}_{2}D}_{3}E}_{3}}$=$\frac{9}{16}×\frac{1}{3}{×S}_{△ABC}$=$\frac{3}{16}$S_△ABC，
因為${S}_{△A{CD}_{3}}$=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
所以陰影部分與△ABC的面積比等于：
（$\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{3}{16}+\frac{1}{4}$）：1
=$\frac{5}{8}：1$
=5：8

（4）等分點數(shù)位a時，陰影部分與△ABC的面積比是：
（$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{a}^{2}}+…+\frac{a}{{a}^{2}}$）：1
=$\frac{（1+a）a}{{2a}^{2}}：1$
=$\frac{1+a}{2a}：1$
=（a+1）：2a

（5）E₁、E₂、E₃，…E₈分別為BC的九等分點時，
陰影部分與△ABC的面積比是：
（9+1）：（2×9）
=10：18
=5：9．
故答案為：3：4；2：3；5：8．

點評 此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）三角形的高相等時，三角形的面積和三角形的底成正比；（2）相似三角形的面積的比等于相似比的平方．