Question

4．如圖，△ABC中邊BC=50，高AD=40，點(diǎn)E、F在AB、AC上，且EF∥BC交中線AM和高AD于點(diǎn)N和點(diǎn)G．
（1）若點(diǎn)N是△ABC的重心，求△EDF的面積；
（2）求當(dāng)EF長度為多少時(shí)，△EDF的面積最大．

Answer 1

分析 （1）由三角形重心的性質(zhì)可知：$\frac{AN}{AM}=\frac{2}{3}$，從而可得到EF=$\frac{2}{3}CB$，DG=$\frac{1}{3}AD$，然后利用三角形的面積公式求解即可；
（2）設(shè)EF=x，由$\frac{EF}{CB}=\frac{AG}{AG}$，可求得AG=$\frac{4}{5}x$，然后可表示出GD=40-$\frac{4}{5}x$，由三角形的面積公式可求得△EDF的面積與x的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得EF的長度．

解答 解：（1）∵N是三角形的重心，
∴$\frac{AN}{AM}=\frac{2}{3}$．
∵EF∥BC，
∴$\frac{EF}{CB}=\frac{2}{3}$，$\frac{DG}{AD}=\frac{1}{3}$．
∴EF=$\frac{2}{3}×50$=$\frac{100}{3}$，$DG=\frac{1}{3}×40$=$\frac{40}{3}$．
∴△EDF的面積=$\frac{1}{2}×\frac{100}{3}×\frac{40}{3}$=$\frac{2000}{9}$．
（2）設(shè)EF=x．
∵EF∥BC，
∴$\frac{EF}{CB}=\frac{AG}{AD}$，即$\frac{x}{50}=\frac{AG}{40}$．
∴AG=$\frac{4}{5}x$．
∴GD=40-AG=40-$\frac{4}{5}x$．
∴${S}_{△EFD}=\frac{1}{2}×EF×DG$=$\frac{1}{2}x（40-\frac{4}{5}x）$=$-\frac{2}{5}{x}^{2}+20x$．
∴x=-$\frac{2a}$=$-\frac{20}{-2×\frac{2}{5}}$=25．
∴當(dāng)EF=25時(shí)，△EDF的面積最大．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形的重心，根據(jù)題意得出△EFD的面積與EF的長度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．