【題目】如圖,△ABD是等腰三角形,AB=AD,將△ABD沿BD翻折得△CBD,點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn),
(1)如圖1,連接PA、PC,求證:CP=AP;

(2)如圖2,連接PA,若∠BAP=90°時(shí),作∠DPF=45°,線段PF交線段CD于F,求證:AD=AP+DF;

(3)如圖3,∠ABD=30°,連接AP并延長(zhǎng)交CD于M,若∠BAM=90°,在BD上取一點(diǎn)Q,且DQ=3BQ,連BM、CQ,當(dāng)BM= 時(shí),求CQ的長(zhǎng).

【答案】
(1)

證明:由翻折有,AD=CD,∠ADP=∠CDP,

在△ADP和△CDP中,

∴△ADP≌△CDP,

∴CP=AP


(2)

證明:連接PC,由(1)有,AP=CP,

由翻折有∠BCP=∠BAP=90°,

∴∠CBP+∠BPC=90°,

∵AD=AB=CB=CD,

∴∠CBP=∠CDP,

∴∠CDP+∠BPC=90°,

∵∠DPF=45°,

∴∠BPC+∠CPF=135°,

∴∠CPF=∠CDP+45°,

∵∠CFP=∠CDP+∠BPF=∠CDP+45°,

∴∠CPF=∠CFP,

∴CP=CF,

∴AD=CB=CF+FD=CP+FD=AP+FD


(3)

證明:如圖,連接AQ,AC,

由(1)有,AQ=CQ,AP=CP,由翻折有AB=BC,AD=CD,

∵AB=AD,

∴AB=BC=CD=AD,

∴四邊形ABCD是菱形,

∴AC⊥BD,OB=OD,OA=OC,∠BAD=120°,

∵DQ=3BQ,

∴BQ=OQ,

∴四邊形CPAQ也是菱形,

∵∠BAM=90°,∠BAD=120°,

∴∠BAQ=∠DAM=30°,

∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB=30°,

∵∠ADM=60°,

∴∠AMD=90°,

∵△ACD等邊三角形,

∴CD=2DM.

設(shè)DM=x,

∴CD=AD=AB=2DM=2x,AM= x,

在Rt△ABM中,BM= ,

∴AB2+AM2=BM2

∴(2x)2+( x)2=( 2,

∴x= 或x=﹣ (舍),

在RT△AOB中,∠ABD=30°,

∴OA= AB=x,OB= x,

∵OQ=BQ= OB= x,

在RT△AOQ中,AQ= = x=

∴CQ=AQ=


【解析】(1)由翻折得到條件,直接判斷出△ADP≌△CDP,即可;(2)由(1)結(jié)論CP=AP,用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角的和及平角的定義判斷出∠CPF=∠CFP,得到CP=CF,即可;(3)由(1)的結(jié)論判斷出四邊形ABCD是菱形,繼而判斷出四邊形AQCP也是菱形,利用勾股定理求出MN即可.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱(chēng):等邊對(duì)等角),以及對(duì)等腰三角形的判定的理解,了解如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)稱(chēng):等角對(duì)等邊).這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等.

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