【題目】如圖1,拋物線y=ax2﹣x+c交x軸于A,B兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C.直線y=﹣x+3經(jīng)過點(diǎn)B,C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P為直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),則△PBC的面積能夠等于△BOC的面積嗎?若能,求出相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由;
(3)如圖2,現(xiàn)把△BOC平移至如圖所示的位置,此時(shí)三角形水平方向一邊的兩個(gè)端點(diǎn)點(diǎn)O′與點(diǎn)B′都在拋物線上,稱點(diǎn)O′和點(diǎn)B′為△BOC在拋物線上的一“卡點(diǎn)對(duì)”;如果把△BOC旋轉(zhuǎn)一定角度,使得其余邊位于水平方向然后平移,能夠得到這個(gè)三角形在拋物線上新的“卡點(diǎn)對(duì)”.請(qǐng)直接寫出△BOC在已知拋物線上所有“卡點(diǎn)對(duì)”的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)即當(dāng)(2,﹣)時(shí),兩個(gè)三角形面積相同;(3)故拋物線上所有“卡點(diǎn)對(duì)”的坐標(biāo)(, )和(,)、(1,0)和(4,0)、(0,3)和(5,3).
【解析】
(1)分別把x=0,y=0代入一次函數(shù)表達(dá)式得:點(diǎn)C、B的坐標(biāo)分別為(0,3)、(4,0),同理將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式即可求解;
(2)直線y=-x和直線BC平行,直線y=-x和拋物線的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)P,即可求解;
(3)分O′B′在水平位置時(shí)、O′C′在水平位置時(shí)、B′C′在水平位置時(shí),三種情況分別求解即可.
解:(1)分別把x=0,y=0代入一次函數(shù)表達(dá)式得:
點(diǎn)C、B的坐標(biāo)分別為(0,3)、(4,0),
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:
,
解得:,
故拋物線的表達(dá)式為:y=x2﹣x+3;
(2)直線y=﹣x和直線BC平行,
直線y=﹣x和拋物線的交點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)P,
則,
解得:,
即當(dāng)(2,﹣)時(shí),兩個(gè)三角形面積相同;
(3)拋物線的對(duì)稱軸為:x=,
①當(dāng)O′B′在水平位置時(shí),如圖2所示,
O′B′=4,則點(diǎn)B′和O′的橫坐標(biāo)分別為、,
將橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:y=,
故此時(shí)的“卡點(diǎn)對(duì)”坐標(biāo)為(,)和(,);
②當(dāng)O′C′在水平位置時(shí),
O′C′=3,則點(diǎn)B′和O′的橫坐標(biāo)分別為4、1,
將橫坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得:y=0,
故此時(shí)的“卡點(diǎn)對(duì)”坐標(biāo)為(1,0)和(4,0);
③當(dāng)B′C′在水平位置時(shí),
同理可得:此時(shí)的“卡點(diǎn)對(duì)”坐標(biāo)為(0,3)和(5,3);
故拋物線上所有“卡點(diǎn)對(duì)”的坐標(biāo)(,)和(,)、(1,0)和(4,0)、(0,3)和(5,3).
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【題目】如圖,過點(diǎn)C(3,4)的直線交軸于點(diǎn)A,∠ABC=90°,AB=CB,曲線過點(diǎn)B,將點(diǎn)A沿軸正方向平移個(gè)單位長度恰好落在該曲線上,則的值為________.
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【題目】如圖,菱形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AB=5,AC=6,AC的平行線DE交BC的延長線于點(diǎn)E,則四邊形ACED的面積為______.
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【題目】如圖,雙曲線經(jīng)過的頂點(diǎn)和上的中點(diǎn),軸,點(diǎn)的坐標(biāo)為.則(1)點(diǎn)的坐標(biāo)為______.(2)的面積是_______.
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【題目】如圖,為的直徑,于,點(diǎn)是弧上的任一點(diǎn),過點(diǎn)作的切線交于點(diǎn).連接交于.
(1)求證:;
(2)填空:①當(dāng)_____時(shí),四邊形是正方形;
②當(dāng)_____時(shí),四邊形是菱形.
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【題目】如圖,在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中,給出了格點(diǎn)四邊形ABCD(頂點(diǎn)為網(wǎng)格線的交點(diǎn)).
(1)畫出四邊形ABCD關(guān)于x軸成軸對(duì)稱的四邊形A1B1C1D1;
(2)以O為位似中心,在第三象限畫出四邊形ABCD的位似四邊形A2B2C2D2,且位似比為1;
(3)在第一象限內(nèi)找出格點(diǎn)P,使∠DCP=∠CDP,并寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)(寫出一個(gè)即可).
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【題目】如圖,已知點(diǎn)O為△ABC的兩條角平分線的交點(diǎn),過點(diǎn)O作OD⊥BC,垂足為D,且OD=4.若△ABC的面積是34,則△ABC的周長為( 。
A.8.5B.15C.17D.34
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【題目】拋物線C:y=x[a(x﹣1)+x+1](a為任意實(shí)數(shù)).
(1)無論a取何值,拋物線C恒過定點(diǎn) , .
(2)當(dāng)a=1時(shí),設(shè)拋物線C在第一象限依次經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))為A1,A2,……An,將拋物線C沿著直線y=x(x≥0)平移,將平移后的拋物線記為C n,拋物線C n經(jīng)過點(diǎn)An,C n的頂點(diǎn)坐標(biāo)為Mn(n為正整數(shù)且n=1,2,…,n,例如n=1時(shí),拋物線C1經(jīng)過點(diǎn)A1,C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M1).
①拋物線C2的解析式為 ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 .
②拋物線C1上是否存在點(diǎn)P,使得PM1∥A2M2?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),并判斷四邊形PM1M2A2的形狀;若不存在,請(qǐng)說明理由.
③直接寫出Mn﹣1,Mn兩頂點(diǎn)間的距離: .
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【題目】如圖,拋物線L:y=ax2+bx+c與x軸交于A、B(3,0)兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),已知對(duì)稱軸x=1.
(1)求拋物線L的解析式;
(2)將拋物線L向下平移h個(gè)單位長度,使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)(包括△OBC的邊界),求h的取值范圍;
(3)設(shè)點(diǎn)P是拋物線L上任一點(diǎn),點(diǎn)Q在直線l:x=﹣3上,△PBQ能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若能,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說明理由.
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