Question

16．如圖，把△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到△DBE，AC⊥DE于點H，點M、N分別為AE、DC的中點，延長NB交AE于點K，若BN=6.5，BC=5，∠CBN=2∠DBN，則KM=1.5．

Answer 1

分析 如圖延長BN到H，使得NH=BN，連接DH，CH，在KA上截取一點F，使得KF=KE，連接BF，AC與BD交于點O，首先證明△ABE≌△DBE，推出AE=PB=13，∠AEB=2∠BAE，再證明BK⊥AE，設(shè)設(shè)KE=KF=a，則AF=AE-EF=13-2a，列出方程求出a，即可解決問題．

解答 解：如圖延長BN到H，使得NH=BN，連接DH，CH，在KA上截取一點F，使得KF=KE，連接BF，AC與BD交于點O，

∵△ABC≌△DBE，
∴∠BAC=∠BDE，AB=BD，BE=BC，
∵AC⊥DE于H，
∴∠OHD=90°，
∵∠AOB=∠DOH，
∴∠ABO=∠OHD=90°，
∴∠ABD=∠EBC=90°，
∴∠DBC+∠ABE=180°，
∵DN=NC，BN=NH，
∴四邊形BCHD是平行四邊形，
∴BC∥PD，BC=PD=BE，
∴∠PDB+∠CBD=180°，
∴∠ABE=∠PDB，
在△ABE和△BDP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BD}\\{∠ABE=∠PDB}\\{BE=PD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBE，
∴AEB=∠DPB=∠CBN，∠EAB=∠DBP，AE=BP=13，
∵∠CBN=2∠DBN，
∴∠BEA=2∠BAE，
∵∠PBD+∠ABK=90°，
∴∠BAE+∠ABK=90°，
∴∠AKB=90°，∴BK⊥EF，
∵FK=KE，
∴∠BEA=∠BFE=2∠BAE，
∵∠BFE=∠BAF+∠ABF，
∴∠FAB=∠FBA，
∴FA=FB，設(shè)KE=KF=a，則AF=AE-EF=13-2a，
∴（13-2a）²-a²=5²-a²，
∴a=4或9（舍棄），
∴MK=ME-KE=6.5-4=1.5．
故答案為1.5．λ

點評 本題考查性質(zhì)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．