Question

如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AB=BC=4，在邊BC上存在一動點P（不與B，C重合），
（1）若CD=0.5，且∠APD=90°，求BP的長；
（2）如圖2，若PB=1，且∠PAD=45°，求CD的長；
（3）若∠APD=90°，則AD的最小值為

 

．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）證△BAP∽△CPD，得出比例式，代入后求出即可；
（2）過A作AF⊥CD交CD的延長線于飛，延長CD到E，使EF=BP，連接AE，證△ABP≌△AFE，求出AP=AE，∠BAP=∠EAF，求出∠EAD=∠PAD，證△PAD≌△EAD，推出DP=DE，根據(jù)勾股定理得出方程，求出即可；
（3）根據(jù)勾股定理得出關于x的方程，求出函數(shù)的最值即可．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是直角梯形，∠APD=90°，
∴∠B=∠C=∠APD=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°，∠APB+∠DPC=90°，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△BAP∽△CPD，
∴

AB

CP

=

BP

CD

，
∴

4

4-BP

=

BP

1.5

，
解得：BP=2±

2

； 

（2）過A作AF⊥CD交CD的延長線于飛，延長CD到E，使EF=BP，連接AE，
∵AB=BC，∠B=∠C=∠AFC=90°，
∴四邊形ABCF是正方形，
∴AB=AF=CF=4，∠B=∠AFE=∠BAF=90°，
在△ABP和△AFE中，

AB=AF ∠B=∠AFE BP=EF

，
∴△ABP≌△AFE（ASA），
∴AP=AE，∠BAP=∠EAF，
∵∠BAF=90°，∠PAD=45°，
∴∠BAP+∠FAD=45°，
∴∠EAD=∠EAF+∠DAF=∠BAP+∠DAF=45°=∠PAD，
在△PAD和△EAD中，

AP=AE ∠PAD=∠EAD AD=AD

，
∴△PAD≌△EAD（SAS），
∴DP=DE=DF+EF=DF+BP=DF+1，
設PD=DF=x，則CD=CE-DE=4-（x-1）=5-x，
CP=CB-BP=4-1=3，
在Rt△DCP中，由勾股定理得：x²=（5-x）²+3²，
解得：x=3.4，
則CD=5-3.4=1.6；

（3）
過A作AE⊥CD于E，
則∠B=∠C=∠E=90°，
∵AB=BC=4，
∴四邊形ABCE是正方形，
∴AE=CE=4，
∵設BP=x，由（1）知：

AB

BP

=

PC

CD

，
∴

4

x

=

4-x

CD

，
∴CD=x-

1

4

x²，
∴DE=4-CD=4-（x-

1

4

x²）=

1

4

x²-x+4，
在Rt△AED中，由勾股定理得：
AD²=AE²+DE²
=4²+（

1

4

x²-x+4）²
=4²+[

1

4

（x-2）²+3]²，
∵要是AD取最小值，
∴必須x-2=0，
即x=2，
代入得：AD²=4²+[

1

4

(2-2)2+3]²=4²+3²=25，
即AD的最小值是5，
故答案為：5．

點評：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定，函數(shù)的最值的應用，題目是一道比較好的題目，有一定的難度．