【題目】如圖1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AB,AC上,AD=AE,連接DC,點(diǎn)M,P,N分別為DE,DC,BC的中點(diǎn).
(1)觀察猜想
圖1中,線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是 , 位置關(guān)系是;
(2)探究證明
把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置,連接MN,BD,CE,判斷△PMN的形狀,并說(shuō)明理由;
(3)拓展延伸
把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn),若AD=4,AB=10,請(qǐng)直接寫(xiě)出△PMN面積的最大值.
【答案】
(1)PM=PN;PM⊥PN
(2)
解:由旋轉(zhuǎn)知,∠BAD=∠CAE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴∠ABD=∠ACE,BD=CE,
同(1)的方法,利用三角形的中位線得,PN= BD,PM= CE,
∴PM=PN,
∴△PMN是等腰三角形,
同(1)的方法得,PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCE,
同(1)的方法得,PN∥BD,
∴∠PNC=∠DBC,
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACB+∠ABC=90°,
∴∠MPN=90°,
∴△PMN是等腰直角三角形
(3)
解:如圖2,同(2)的方法得,△PMN是等腰直角三角形,
∴MN最大時(shí),△PMN的面積最大,
∴DE∥BC且DE在頂點(diǎn)A上面,
∴MN最大=AM+AN,
連接AM,AN,
在△ADE中,AD=AE=4,∠DAE=90°,
∴AM=2 ,
在Rt△ABC中,AB=AC=10,AN=5 ,
∴MN最大=2 +5 =7 ,
∴S△PMN最大= PM2= × MN2= ×(7 )2= .
【解析】解:(1)∵點(diǎn)P,N是BC,CD的中點(diǎn),
∴PN∥BD,PN= BD,
∵點(diǎn)P,M是CD,DE的中點(diǎn),
∴PM∥CE,PM= CE,
∵AB=AC,AD=AE,
∴BD=CE,
∴PM=PN,
∵PN∥BD,
∴∠DPN=∠ADC,
∵PM∥CE,
∴∠DPM=∠DCA,
∵∠BAC=90°,
∴∠ADC+∠ACD=90°,
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°,
∴PM⊥PN,
故答案為:PM=PN,PM⊥PN,
(1)利用三角形的中位線得出PM= CE,PN= BD,進(jìn)而判斷出BD=CE,即可得出結(jié)論,另為利用三角形的中位線得出平行線即可得出結(jié)論;(2)先判斷出△ABD≌△ACE,得出BD=CE,同(1)的方法得出PM= BD,PN= BD,即可得出PM=PN,同(1)的方法即可得出結(jié)論;(3)先判斷出MN最大時(shí),△PMN的面積最大,進(jìn)而求出AN,AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面積公式即可得出結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年3月,我校舉辦了以“讀城記”為主題的校讀書(shū)節(jié)暨文化藝術(shù)節(jié),為了解初中學(xué)生更喜歡下列A、B、C、D哪個(gè)比賽,從初中學(xué)生隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,每個(gè)參與調(diào)查的學(xué)生只選擇最喜歡的一個(gè)項(xiàng)目,并把調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:
A.“尋找星主播”校園主持人大賽
B.“育才音超”校園歌手大賽
C.閱讀之星評(píng)選
D.“超級(jí)演說(shuō)家”演講比賽
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有 人.請(qǐng)你將統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(2)在此調(diào)查匯總,抽到了七年級(jí)(1)班3人.其中2人喜歡“育才音超”校園歌手大賽、1人喜歡閱讀之星評(píng)選.抽到八年級(jí)(5)班2人,其中1人喜歡“超級(jí)演說(shuō)家”演講比賽、1人喜歡閱讀之星評(píng)選.從這5人中隨機(jī)選兩人.用列表或用樹(shù)狀圖求出兩人都喜歡閱讀之星評(píng)選的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】ABCD中,E是CD邊上一點(diǎn),
(1)將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),使AD、AB重合,得到△ABF,如圖1所示.觀察可知:與DE相等的線段是 , ∠AFB=∠ .
(2)如圖2,正方形ABCD中,P、Q分別是BC、CD邊上的點(diǎn),且∠PAQ=45°,試通過(guò)旋轉(zhuǎn)的方式說(shuō)明:DQ+BP=PQ.
(3)在(2)題中,連接BD分別交AP、AQ于M、N,你還能用旋轉(zhuǎn)的思想說(shuō)明BM2+DN2=MN2 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】小明家飲水機(jī)中原有水的溫度為20℃,通電開(kāi)機(jī)后,飲水機(jī)自動(dòng)開(kāi)始加熱[此過(guò)程中水溫y(℃)與開(kāi)機(jī)時(shí)間x(分)滿足一次函數(shù)關(guān)系],當(dāng)加熱到100℃時(shí)自動(dòng)停止加熱,隨后水溫開(kāi)始下降[此過(guò)程中水溫y(℃)與開(kāi)機(jī)時(shí)間x(分)成反比例關(guān)系],當(dāng)水溫降至20℃時(shí),飲水機(jī)又自動(dòng)開(kāi)始加熱…,重復(fù)上述程序(如圖所示),根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)0≤x≤8時(shí),求水溫y(℃)與開(kāi)機(jī)時(shí)間x(分)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求圖中t的值;
(3)若小明在通電開(kāi)機(jī)后即外出散步,請(qǐng)你預(yù)測(cè)小明散步45分鐘回到家時(shí),飲水機(jī)內(nèi)的溫度約為多少℃?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(﹣2,4)位于( 。
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90 ,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=6cm,則△BED的周長(zhǎng)是cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),CD⊥BE交AB于D點(diǎn),交BE于點(diǎn)F
(1) 如圖1,若AC=2BC,求證:AD=2BD
(2) 如圖2,若∠ACD=30°,連AF并延長(zhǎng)交BC于G點(diǎn),求的值
(3) 在(1)的條件下,若AC=4,以AB為邊作等腰直角三角形ABM(點(diǎn)M與點(diǎn)C在AB異側(cè)),直接寫(xiě)出CM的長(zhǎng)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(﹣1,0)、B(3,0),與y 軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D,頂點(diǎn)為C,
(1)寫(xiě)出該拋物線的對(duì)稱軸方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)C變化,使60°≤∠ACB≤90°時(shí),求出a的取值范圍;
(3)作直線CD交x軸于點(diǎn)E,問(wèn):在y軸上是否存在點(diǎn)F,使得△CEF是一個(gè)等腰直角三角形?若存在,請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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