Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣1，0）、B（3，0），與y 軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，頂點(diǎn)為C，

（1）寫出該拋物線的對稱軸方程；

（2）當(dāng)點(diǎn)C變化，使60°≤∠ACB≤90°時(shí)，求出a的取值范圍；

（3）作直線CD交x軸于點(diǎn)E，問：在y軸上是否存在點(diǎn)F，使得△CEF是一個(gè)等腰直角三角形？若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）對稱軸x=1�。�2）當(dāng)點(diǎn)C變化，使60°≤∠ACB≤90°時(shí)， ≤a≤； （3） a=或a=或a=．

【解析】（1）根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣1，0）、B（3，0），即可求出拋物線的對稱軸；

（2）分別求出當(dāng)∠ACB=60°和∠ACB=90°時(shí)a的值，進(jìn)而求出使60°≤∠ACB≤90°時(shí)，求出a的取值范圍；

（3）分別寫出C點(diǎn)和D點(diǎn)的坐標(biāo)以及E點(diǎn)的坐標(biāo)，再進(jìn)行分類討論證明△EHF≌△EKC，列出a的方程，解出a的值．

解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a＞0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（﹣1，0）、B（3，0），

∴拋物線的對稱軸x==1；

（2）當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，△ABC是等邊三角形，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，﹣2），

設(shè)y=a（x+1）（x﹣3），把C點(diǎn)坐標(biāo)（1，﹣2）代入，

解得a=；

當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，△ABC是等腰直角三角形，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（1，﹣2），

設(shè)y=a（x+1）（x﹣3），把C點(diǎn)坐標(biāo)（1，﹣2）代入，

解得a=，

即當(dāng)點(diǎn)C變化，使60°≤∠ACB≤90°時(shí)， ≤a≤；

（3）由于C（1，﹣4a），D（0，﹣3a），

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，

即，

解得k=﹣a，b=﹣3a，

直線CD的解析式為y=﹣a（x+3），

故求出E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，0）；

分兩類情況進(jìn)行討論；

如圖1，

△EHF≌△FKC，

即HF=CK=3，

4a+1=3，

解得a=；

②如圖2，

△EHF≌△FKC，

即EK=HF=3；

即4a=3，解得a=；

同理，當(dāng)點(diǎn)F位于y軸負(fù)半軸上，a=．

綜上可知在y軸上存在點(diǎn)F，使得△CEF是一個(gè)等腰直角三角形，且a=或a=或a=．

“點(diǎn)睛”本題主要考查二次函數(shù)的綜合題的知識點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是能夠利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，此題的難度較大，特別是第三問需要進(jìn)行分類討論解決問題．