Question

【題目】如圖，∠A=∠B=50°，P 為 AB 中點(diǎn)，點(diǎn) M 為射線 AC 上（不與點(diǎn) A 重合）的任意一點(diǎn)，連接 MP， 并使MP 的延長(zhǎng)線交射線BD 于點(diǎn)N，設(shè)∠BPN=α．

（1）求證：△APM≌△BPN；

（2）當(dāng) MN=2BN 時(shí)，求α的度數(shù)；

（3）若△BPN 為銳角三角形時(shí)，直接寫(xiě)出α的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)α=∠B=50°；(3)40°＜α＜90°．

【解析】

根據(jù)AAS可證明△APM≌△BPN.

由（1）中的全等得MN=2PN，所以BN=PN，由等邊對(duì)等角可得結(jié)論.

三角形的外心是外接圓的圓心，三邊垂直平分線的交點(diǎn)，直角三角形的外心在直角頂點(diǎn)上，鈍角三角形的外心在三角形內(nèi)部，只有銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，所以根據(jù)題目中要求可知：△BPN是銳角三角形，由三角形的內(nèi)角和可得結(jié)論.

(1)∵P是AB的中點(diǎn)，

∴PA=PB，

在△APM和△BPN中，

∵，

∴△APM≌△BPN（ASA）；

(2)由(1)得：△APM≌△BPN，

∴PM=PN，

∴MN=2PN，

∵M(jìn)N=2BN，

∴BN=PN，

∴α=∠B=50°；

(3)∵△BPN是銳角三角形，

∵∠B=50°，

∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．