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【題目】如圖，∠A=∠B=50°，P 為 AB 中點，點 M 為射線 AC 上（不與點 A 重合）的任意一點，連接 MP， 并使MP 的延長線交射線BD 于點N，設∠BPN=α．

（1）求證：△APM≌△BPN；

（2）當 MN=2BN 時，求α的度數；

（3）若△BPN 為銳角三角形時，直接寫出α的取值范圍．

【答案】(1)證明見解析；(2)α=∠B=50°；(3)40°＜α＜90°．

【解析】

根據AAS可證明△APM≌△BPN.

由（1）中的全等得MN=2PN，所以BN=PN，由等邊對等角可得結論.

三角形的外心是外接圓的圓心，三邊垂直平分線的交點，直角三角形的外心在直角頂點上，鈍角三角形的外心在三角形內部，只有銳角三角形的外心在三角形的內部，所以根據題目中要求可知：△BPN是銳角三角形，由三角形的內角和可得結論.

(1)∵P是AB的中點，

∴PA=PB，

在△APM和△BPN中，

∵，

∴△APM≌△BPN（ASA）；

(2)由(1)得：△APM≌△BPN，

∴PM=PN，

∴MN=2PN，

∵MN=2BN，

∴BN=PN，

∴α=∠B=50°；

(3)∵△BPN是銳角三角形，

∵∠B=50°，

∴40°＜∠BPN＜90°，即40°＜α＜90°．

練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】對于平面內的∠M和∠N，若存在一個常數k＞0，使得∠M＋k∠N＝360°，則稱∠N為∠M的k系補周角．如若∠M＝90°，∠N＝45°，則∠N為∠M的6系補周角．

（1）若∠H＝120°，則∠H的4系補周角的度數為 ；

（2）在平面內AB∥CD，點E是平面內一點，連接BE，DE．

①如圖1，∠D＝60°，若∠B是∠E的3系補周角，求∠B的度數；

②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點F在點E的右側，且滿足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n為常數且n＞1），點P是∠ABE角平分線BG上的一個動點，在P點運動過程中，請你確定一個點P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補周角，并直接寫出此時的k值（用含n的式子表示）．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖一次函數的圖象與x軸、y軸交于點A、B，以線段AB為邊在第一象限內作等邊三角形ABC，

（1）求ABC的面積。

（2）如果在第二象限內有一點P（），試用含有a的代數式表示四邊形ABPO的面積，并求出當ABP的面積與ABC的面積相等時a的值。

（3）在x軸上，是否存在點M，使MAB為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由。

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到E，使DE=AD，連接EB，EC，DB．添加一個條件，不能使四邊形DBCE成為矩形的是（ ）

（A）AB=BE （B）BE⊥DC （C）∠ADB=90° （D）CE⊥DE

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，點P在第一象限，△ABP是邊長為2的等邊三角形，當點A在x軸的正半軸上運動時，點B隨之在y軸的正半軸上運動，運動過程中，點P到原點的最大距離是______；若將△ABP的PA邊長改為，另兩邊長度不變，則點P到原點的最大距離變?yōu)?/span>______．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形ABCD中，點E，F，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，點P在矩形ABCD內．若AB＝4cm，BC＝6cm，AE＝CG＝3cm，BF＝DH＝4cm，四邊形AEPH的面積為5cm2，則四邊形PFCG的面積為_______cm2．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】化簡：整式與分式
（1）（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+1）（3x﹣2）
（2）（ ﹣x+1）÷ ．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．

（1）求證：OE=OF；

（2）若CE=12，CF=5，求OC的長；

（3）當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

【題目】如圖：兩個等邊三角形△ABD與△BCE，連結AE與CD，

求證：（1）AE=CD;

（2）AE與DC之間的夾角為60°;

（3）AE與CD的交點設為H,BH平分∠AHC.

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