Question

【題目】如圖，已知Rt△ABC中，C=90°，O在AC上，以OC為半徑作⊙O，切AB于D點，且BC=BD.

（1）求證：AB為⊙O的切線；

（2）若BC=6，sinA=，求⊙O的半徑；

（3）在（2）的條件下，P點在⊙O上為一動點，求BP的最大值與最小值.

Answer 1

【答案】（1）連OD，證明略；（2）半徑為3；（3）最大值3+3 ，3-3.

【解析】

（1）連接OD，OB，證明△ODB≌△OCB即可.

（2）由sinA=且BC=6可知，AB=10且cosA=，然后求出OD的長度即可.

（3）由三角形的三邊關系，可知當連接OB交⊙O于點E、F，當點P分別于點E、F重合時，BP分別取最小值和最大值.

（1）如圖：連接OD、OB.

在△ODB和△OCB中：

OD=OC,OB=OB,BC=BD;

∴△ODB≌△OCB（SSS）.

∴∠ODB=∠C=90°.

∴AB為⊙O的切線.

（2）如圖：

∵sinA=，∴,

∵BC=6，∴AB=10,

∵BD=BC=6,

∴AD=AB-BD=4,

∵sinA=，∴cosA=，

∴OA=5，∴OD=3，

即⊙O的半徑為：3.

（3）如圖：連接OB，交⊙O為點E、F，

由三角形的三邊關系可知：

當P點與E點重合時，PB取最小值.

由（2）可知：OD=3，DB=6,

∴OB=.

∴PB=OB-OE=.

當P點與F點重合時，PB去最大值，

PB=OP+OB=3+.