Question

4．如圖，拋物線y=ax²-4ax+3a（a＞0），與y軸交于點(diǎn)A，在x軸的正半軸上取一點(diǎn)B，使OB=2OA，拋物線的對(duì)稱軸與拋物線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D，與直線AB交于點(diǎn)E，連接BC．
（1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）若△BCD與△BDE相似，求a的值；
（3）連接OE，記△OBE的外心為M，點(diǎn)M到直線AB的距離記為h，請(qǐng)?zhí)骄縣的值是否會(huì)隨著a的變化而變化？如果變化，請(qǐng)寫出h的取值范圍；如果不變，請(qǐng)求出h的值．

Answer 1

分析 （1）令x=0代入拋物線可得y=3a，即OA=3a，因?yàn)镺B=2OA，所以B的坐標(biāo)為（6a，0），點(diǎn)C時(shí)拋物線的頂點(diǎn)，利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出C的坐標(biāo)為（2，-a）；
（2）由于點(diǎn)B的位置不確定，所以分三種情況討論，一是點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，二是點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè)，三是點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，其中第三種情況是不存在△BCD與△BDE；另外，△BCD與△BDE相似時(shí)，有兩種情況，一是∠DBC=∠EBD，二是∠DBE=∠DBC，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出a的值；
（3）由于點(diǎn)B的位置不確定，所以分三種情況討論，一是點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，二是點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè)，三是點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，其中第三種情況是不存在△OBE，由題意知：點(diǎn)M在OB和BE的垂直平分線上，設(shè)OB和BE的垂直平分線交于點(diǎn)M，其中OB的垂直平分線與OB交于點(diǎn)G，BE的垂直平分線交OB于點(diǎn)H，交BE于點(diǎn)F，利用相似三角形的性質(zhì)求出MF的長度即可；

解答 解：（1）由拋物線的解析式可知：點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，-a），
令x=0代入y=ax²-4ax+3a，
∴y=3a，
∴OA=3a，
∵OB=2OA=6a，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6a，0）；

（2）由（1）可知：OD=2，CD=a，OB=6a，
若點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，如圖1，
則6a＞2，
∴a＞$\frac{1}{3}$，
∴BD=6a-2，
當(dāng)∠DBC=∠EBD時(shí)，
∴tan∠DBC=tan∠EBD=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{6a-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)∠DCB=∠EBD時(shí)，
∴tan∠DCB=tan∠EBD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{6a-2}{a}=\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{4}{11}$，
若點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，如圖2，
則0＜6a＜2，
∴0＜a＜$\frac{1}{3}$，
∴BD=2-6a，
當(dāng)∠DBC=∠EBD時(shí)，
∴tan∠DBC=tan∠EBD=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a}{2-6a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{1}{4}$，
當(dāng)∠DCB=∠EBD時(shí)，
∴tan∠DCB=tan∠EBD=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2-6a}{a}$=$\frac{1}{2}$，
∴a=$\frac{4}{13}$，
若點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，
則6a=2，
∴a=$\frac{1}{3}$，
此情況不存在△BCD與△BDE，
綜上所述，a的值為$\frac{1}{2}$、$\frac{4}{11}$、$\frac{4}{13}$和$\frac{1}{4}$；

（3）由題意知：點(diǎn)M在OB和BE的垂直平分線上，
設(shè)OB和BE的垂直平分線交于點(diǎn)M，
其中OB的垂直平分線與OB交于點(diǎn)G，
BE的垂直平分線交OB于點(diǎn)H，交BE于點(diǎn)F
當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)D的右側(cè)時(shí)，如圖3，
∴6a＞2，
∴a＞$\frac{1}{3}$，
∴BD=6a-2，
∵tan∠EBD=$\frac{1}{2}$，
∴ED=$\frac{1}{2}$BD=3a-1，
由勾股定理可求得：BE=3$\sqrt{5}$a-$\sqrt{5}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{3\sqrt{5}a-\sqrt{5}}{2}$，
∴HF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{3\sqrt{5}a-\sqrt{5}}{4}$，
∴由勾股定理可求得：BH=$\frac{15a-5}{4}$，
∴HG=BG-BH=$\frac{5-3a}{4}$，
∵∠GMH=∠EBD，
∴sin∠GMH=sin∠EBD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴MH=$\sqrt{5}$HG=$\frac{5\sqrt{5}-3\sqrt{5}a}{4}$，
∴MF=MH+HF=$\sqrt{5}$，
當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)時(shí)，
∴0＜a＜$\frac{1}{3}$，
∴BD=OD-OB=2-6a，
∵tan∠ABO=tan∠DBE=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\frac{1}{2}$BD=1-3a，
∴由勾股定理可求得：BE=$\sqrt{5}$-3$\sqrt{5}$a，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{\sqrt{5}-3\sqrt{5}a}{2}$，
∴HF=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{5}-3\sqrt{5}a}{4}$，
由勾股定理求得：BH=$\frac{5-15a}{4}$，
∵GB=$\frac{1}{2}$OB=3a，
∴GH=GB+BH=$\frac{5-3a}{4}$，
∵∠HBF+∠BHF=90°，
∠GMH+∠BHF=90°，
∴∠HBF=∠GMH，
∴sin∠HBF=sin∠GMH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴MH=$\sqrt{5}$GH=$\frac{5\sqrt{5}-3\sqrt{5}a}{4}$，
∴MF=MH-HF=$\sqrt{5}$，
當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，
此時(shí)a=$\frac{1}{3}$，
此情況不符合題意，舍去
綜上所述，點(diǎn)M到直線AB的距離不會(huì)變化，始終為$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，涉及已知解析式求坐標(biāo)的問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，需要學(xué)生利用分類討論的思想解答，并且能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．