Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，1），B（0，-1）．點(diǎn)P是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，直線PA，PB與直線x=4分別交于M，N兩點(diǎn)．若以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)C（2，0），則稱此時的點(diǎn)P為理想點(diǎn)．
（1）請判斷P₁（-4，0），P₂（3，0）是否為理想點(diǎn)；
（2）若直線x=-3上存在理想點(diǎn)，求理想點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
（3）若動直線x=m（m≠0）上存在理想點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1））①如圖1中，O′是MN的中點(diǎn)，由△P₁AB∽△P₁MN得$\frac{AB}{MN}$=$\frac{{P}_{1}0}{{P}_{1}O′}$，求出MN，即可判斷．
②如圖2，畫出圖形即可判斷點(diǎn)P₂不是理想點(diǎn)．
（2）存在，如圖3中，作PK⊥MN由H，交AB于G，假設(shè)P是理想點(diǎn)，MN與x軸的交點(diǎn)為H，由AB∥MN，得△PAB∽△PMN，得$\frac{AB}{MN}$=$\frac{PG}{PK}$，求出MN，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出直線AM的解析式，即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)，再根據(jù)對稱性求得另一個理想點(diǎn)．
（3）如圖4中，假設(shè)點(diǎn)P在x軸的正半軸上，是理想點(diǎn)，求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可解決問題．

解答 解：（1）①如圖1中，O′是MN的中點(diǎn)，

∵AB∥MN，
∴△P₁AB∽△P₁MN，
∴$\frac{AB}{MN}$=$\frac{{P}_{1}0}{{P}_{1}O′}$，
∴$\frac{2}{MN}$=$\frac{2}{4}$，
∴MN=2，
∴O′M=O′N=2，
∵CO′=2，
∴點(diǎn)C在⊙O′上，
∴點(diǎn)P₁是理想點(diǎn)．
②由圖2可知，點(diǎn)P₂不是理想點(diǎn)．

（2）存在，
如圖3中，作PK⊥MN由H，交AB于G，假設(shè)P是理想點(diǎn)，MN與x軸的交點(diǎn)為H．

∵AB∥MN，
∴△PAB∽△PMN，
∴$\frac{AB}{MN}$=$\frac{PG}{PK}$，
∴$\frac{2}{MN}$=$\frac{3}{7}$，
∴MN=$\frac{14}{3}$，
∴O′M=$\frac{7}{3}$，
在RT△CHO′中，O′H=$\sqrt{CO{′}^{2}-C{H}^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
∴MH=$\frac{7}{3}$-$\frac{\sqrt{13}}{3}$=$\frac{7-\sqrt{13}}{3}$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（4，$\frac{7-\sqrt{13}}{3}$），
∴直線AM的解析式為y=$\frac{4-\sqrt{13}}{12}$x+1，
∴x=-3時，y=$\frac{\sqrt{13}}{4}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（-4，$\frac{\sqrt{13}}{4}$），
根據(jù)對稱性點(diǎn)P′（-4，-$\frac{\sqrt{13}}{4}$）也是理想點(diǎn)．
線x=-3上存在理想點(diǎn)，理想點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±$\frac{\sqrt{13}}{4}$．
（3）如圖4中，假設(shè)點(diǎn)P在x軸的正半軸上，是理想點(diǎn)．

∵AB∥MN，AB=2，MN=4，
∴△PAB∽△PNM，
∴$\frac{AB}{MN}$=$\frac{PO}{PO′}$，
∴$\frac{2}{4}$=$\frac{PO}{4-PO}$，
∴PO=$\frac{4}{3}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（$\frac{4}{3}$，0），
∵點(diǎn)P₁（-4，0）也是理想點(diǎn)，由圖象可知，
若動直線x=m（m≠0）上存在理想點(diǎn)，則m的取值范圍是-4≤m＜0或0＜m≤$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的綜合題、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、一次函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會正確畫出圖形，學(xué)會利用相似三角形性質(zhì)解決問題，屬于中考壓軸題，屬于創(chuàng)新性題目．