Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=．以BC為底作等腰直角△BCD，E是CD的中點，
求證：AE⊥EB．

Answer 1

證明：過E作EF∥BC交BD于F．
∵∠ACE=∠ACB+∠BCE=135°，∠DFE=∠DBC=45°，
∴∠EFB=135°．
又EF=BC，EF∥BC，AC=BC，
∴EF=AC，CE=FB．
∴△EFB≌△ACE．
∴∠CEA=∠DBE．
又∵∠DBE+∠DEB=90°，
∴∠DEB+∠CEA=90°．
故∠AEB=90°．
∴AE⊥EB．
分析：要證明AE⊥BE，只要證明∠AEB是直角即可，當∠AEB=90°時，∠AEC+∠DEB=90°．又因為∠DBE+∠DEB=90°，那么要證明AE⊥EB，只要證明∠AEC=∠DBE即可．那么我們可通過構建全等三角形來實現(xiàn)．過E作EF∥BC交BD于F，∠DEF=∠DCB=45°．根據(jù)E是CD中點，那么EF是直角三角形BCD的中位線，那么EF=BC=AC，CE=BF，直角三角形EFB和ACE中，已知的條件有EF=AC，CE=BF，只要再得出兩邊的夾角相等即可，我們發(fā)現(xiàn)∠ACE=∠BFE=90°+45°=135°，由此就湊齊了三角形全等的條件，兩三角形就全等了．∠AEC=∠DBE．
點評：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定等知識點，利用全等三角形得出線段和角相等是解此類題的關鍵．