【題目】問(wèn)題背景:如圖1:在四邊形ADBC中,∠ACB=ADB=90°,AD=BD,探究線(xiàn)段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系,小吳同學(xué)探究此問(wèn)題的思路是:將BCD繞點(diǎn)D,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°AED處,點(diǎn)B、C分別落在點(diǎn)A、E處(如圖2),易證點(diǎn)C、AE在同一條直線(xiàn)上,并且CDE是等腰直角三角形,所以CE=

CD,從而得出結(jié)論:AC+BC=CD.

1)簡(jiǎn)單應(yīng)用:在圖1中,若AC=,BC=2,則CD= .

2)拓展規(guī)律,如圖3,∠ACB=ADB=90°,AD=BD,AC=m,BC=nmn),求CD的長(zhǎng)(用含m,n的代數(shù)式表示)

3)如圖4,∠ACB=90°,AC=BC,點(diǎn)PAB的中點(diǎn),若點(diǎn)E滿(mǎn)足AE=ACCE=CA,點(diǎn)QAE的中點(diǎn),直接寫(xiě)出線(xiàn)段PQAC的數(shù)量關(guān)系是 .

【答案】(1)CD=3 ; (2)CD=;(3)PQ=AC.

【解析】

1)根據(jù)材料中給出的關(guān)系AC+BC=CD代入數(shù)據(jù)求解即可(2)以AB為直徑作⊙O,連接OD并延長(zhǎng)⊙O于點(diǎn)D1,連接D1A,D1B,D1C,結(jié)合圓的性質(zhì)和勾股定理求解.3)根據(jù)已知的條件,分情況作圖解答,注意E在直線(xiàn)AC的位置.

解:(1)由題意知AC+BC=CD,將AC=BC=2,代入求得CD=3

2

AB為直徑作⊙O,連接OD并延長(zhǎng)⊙O于點(diǎn)D1,連接D1A,D1B,D1C,如圖,由題目可知:AC+BC=D1C, D1C= ,又∵D1D是⊙O的直徑,∴∠DCD1=90°AC=m,BC=n,∴由勾股定理可求得:AB=m+n,∴D1D=AB=m+nD1C+CD=D1D

= m+n- ,∵mn,∴CD=

3

當(dāng)點(diǎn)E在直線(xiàn)AC的左側(cè)時(shí),如圖,
連接CQ,PC,
AC=BC,∠ACB=90°,
點(diǎn)PAB的中點(diǎn),
AP=CP,∠APC=90°
又∵CA=CE,點(diǎn)QAE的中點(diǎn),
∴∠CQA=90°,
設(shè)AC=a,
AE=AC,
AE=a,
AQ=AE=a
由勾股定理可求得:CQ=a,
由(2)的證明過(guò)程可知:AQ+CQ=PQ,
PQ=a +a
PQ=AC

當(dāng)點(diǎn)E在直線(xiàn)AC的右側(cè)時(shí),如圖,
連接CQ、CP
同理可知:∠AQC=APC=90°,
設(shè)AC=a,
AQ=AE=a,
由勾股定理可求得:CQ=a,

由(2)的結(jié)論可知:PQ=CQ-AQ),
PQ=AC
綜上所述,線(xiàn)段PQAC的數(shù)量關(guān)系是PQ=AC.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P1,4),拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C0,3),與x軸交于AB兩點(diǎn).

1)求此拋物線(xiàn)的解析式;

2)求四邊形OBPC的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,拋物線(xiàn)y1=a(x+2)2+m過(guò)原點(diǎn),與拋物線(xiàn)y2=(x﹣3)2+n交于點(diǎn)A(1,3),過(guò)點(diǎn)Ax軸的平行線(xiàn),分別交兩條拋物線(xiàn)于點(diǎn)B,C.下列結(jié)論:兩條拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸距離為5;②x=0時(shí),y2=5;③當(dāng)x>3時(shí),y1﹣y2>0;④y軸是線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn).正確結(jié)論是________(填寫(xiě)正確結(jié)論的序號(hào)).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】二次函數(shù),當(dāng)時(shí),的最小值為,最大值為,則的值為(

A. 2B. C. D.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知:如圖,AB⊙O的直徑,點(diǎn)C、D⊙O上,且BC=6cm,AC=8cm,∠ABD=45°

1)求BD的長(zhǎng);

2)求圖中陰影部分的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在RtABC中,∠ACB90°,將ABC繞頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到ABC,MBC的中點(diǎn),PAB的中點(diǎn),連接PM,若BC2,∠BAC30°,則線(xiàn)段PM的最大值是_____

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在矩形ABCD中,點(diǎn)EBC上,AEADDFAE,垂足為F

1)求證:DFAB;

2)若FAD30°,且AB4,求AD

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,BE⊥BF,BE=BF,EF與BC交于點(diǎn)G.

(1)求證:AE=CF;

(2)若∠ABE=55°,求∠EGC的大。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,已知AB=AC=5,BC=6,且△ABC≌△DEF,將△DEF與△ABC重合在一起,△ABC不動(dòng),△DEF運(yùn)動(dòng),并滿(mǎn)足:點(diǎn)E在邊BC上沿BC的方向運(yùn)動(dòng),且DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,EFAC交于M點(diǎn).

(1)求證:△ABE∽△ECM;

(2)探究:在△DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形?若能,求出BE的長(zhǎng);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)當(dāng)線(xiàn)段BE為何值時(shí),線(xiàn)段AM最短,最短是多少?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案