Question

【題目】問題背景：如圖1：在四邊形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系，小吳同學(xué)探究此問題的思路是：將△BCD繞點D，逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△AED處，點B、C分別落在點A、E處（如圖2），易證點C、A、E在同一條直線上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=

CD，從而得出結(jié)論：AC+BC=CD.

（1）簡單應(yīng)用：在圖1中，若AC=，BC=2，則CD= .

（2）拓展規(guī)律，如圖3，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD,若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的長（用含m，n的代數(shù)式表示）

（3）如圖4，∠ACB=90°，AC=BC，點P為AB的中點，若點E滿足AE=AC，CE=CA,點Q為AE的中點，直接寫出線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是 .

Answer 1

【答案】（1）CD=3 ; （2）CD=;（3）PQ=AC.

【解析】

（1）根據(jù)材料中給出的關(guān)系AC+BC=CD代入數(shù)據(jù)求解即可（2）以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長⊙O于點D1，連接D1A,D1B，D1C，結(jié)合圓的性質(zhì)和勾股定理求解.（3）根據(jù)已知的條件，分情況作圖解答，注意E在直線AC的位置.

解：（1）由題意知AC+BC=CD，將AC=，BC=2，代入求得CD=3

（2）

以AB為直徑作⊙O，連接OD并延長⊙O于點D1，連接D1A,D1B，D1C，如圖，由題目可知：AC+BC=D1C, ∴D1C= ，又∵D1D是⊙O的直徑，∴∠DCD1=90°，AC=m，BC=n，∴由勾股定理可求得：AB=m+n，∴D1D=AB=m+n∵D1C+CD=D1D，

∴= m+n- ，∵m＜n，∴CD=

（3）

當點E在直線AC的左側(cè)時，如圖，
連接CQ，PC，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
點P是AB的中點，
∴AP=CP，∠APC=90°，
又∵CA=CE，點Q是AE的中點，
∴∠CQA=90°，
設(shè)AC=a，
∵AE=AC，
∴AE=a，
∴AQ=AE=a，
由勾股定理可求得：CQ=a，
由（2）的證明過程可知：AQ+CQ=PQ，
∴PQ=a +a，
∴PQ=AC

當點E在直線AC的右側(cè)時，如圖，
連接CQ、CP，
同理可知：∠AQC=∠APC=90°，
設(shè)AC=a，
∴AQ=AE=a，
由勾股定理可求得：CQ=a，

由（2）的結(jié)論可知：PQ=（CQ-AQ），
∴PQ=AC
綜上所述，線段PQ與AC的數(shù)量關(guān)系是PQ=AC.