Question

【題目】定義：有一組鄰邊均和一條對(duì)角線相等的四邊形叫做鄰和四邊形．

（1）如圖1，四邊形ABCD中，∠ABC＝70°，∠BAC＝40°，∠ACD＝∠ADC＝80°，求證：四邊形ABCD是鄰和四邊形．

（2）如圖2，是由50個(gè)小正三角形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正三角形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，已知A，B，C三點(diǎn)的位置如圖，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中標(biāo)出所有的格點(diǎn)D，使得以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為鄰和四邊形．

（3）如圖3，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝4，若存在一點(diǎn)D，使四邊形ABCD是鄰和四邊形，求鄰和四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）24或16．

【解析】

（1）根據(jù)題意先由三角形的內(nèi)角和為180°求得∠ACB的度數(shù)，從而根據(jù)等腰三角形的判定證得AB＝AC＝AD，按照鄰和四邊形的定義即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)題意以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫圓，與網(wǎng)格的交點(diǎn)，以及△ABC外側(cè)與點(diǎn)B和點(diǎn)C組成等邊三角形的網(wǎng)格點(diǎn)即為所求；

（3）由題意先根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)，再分類計(jì)算即可：①當(dāng)DA＝DC＝AC時(shí)；②當(dāng)CD＝CB＝BD時(shí)；③當(dāng)DA＝DC＝DB或AB＝AD＝BD時(shí)．

解：（1）∵∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，

∴∠ACB＝∠ABC，

∴AB＝AC．

∵∠ACD＝∠ADC，

∴AC＝AD，

∴AB＝AC＝AD．

∴四邊形ABCD是鄰和四邊形．

（2）如圖，格點(diǎn)D，D'，D'即為所求作的點(diǎn)．

（3）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝4，

∴AC＝＝8，

顯然AB，BC，AC互不相等．分兩種情況討論：

①當(dāng)DA＝DC＝AC時(shí)，如圖所示：

∴S△ADC＝AC2＝16，S△ABC＝AB×BC＝8．

∴S四邊形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝24；

②當(dāng)CD＝CB＝BD時(shí)，如圖所示：

∴S△BDC＝BC2＝12，S△ADB＝AB（BC）＝4，

∴S四邊形ABCD＝S△BDC+S△ADB＝16；

③當(dāng)DA＝DC＝DB或AB＝AD＝BD時(shí)，鄰和四邊形ABCD不存在．

∴鄰和四邊形ABCD的面積是24或16．