Question

【題目】如圖，直線y＝﹣2x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點．

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖，點E是直線BC上方拋物線上的一動點，當△BEC面積最大時，請求出點E的坐標和△BEC面積的最大值？

(3)在(2)的結論下，過點E作y軸的平行線交直線BC于點M，連接AM，點Q是拋物線對稱軸上的動點，在拋物線上是否存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣2x2+x+3；(2)點E的坐標是(，)時，△BEC的面積最大，最大面積是；(3)在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標是(﹣，﹣3)或(2，﹣3)或(﹣，2)．

【解析】

（1）首先根據(jù)直線y＝﹣2x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，求出點B的坐標是（0，3），點C的坐標是（4，0）；然后根據(jù)拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點，求出a、c的值是多少，即可求出拋物線的解析式．

（2）首先過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，然后設點E的坐標是（x，﹣2x2+x+3），則點M的坐標是（x，﹣2x+3），求出EM的值是多少；最后根據(jù)三角形的面積的求法，求出S△ABC，進而判斷出當△BEC面積最大時，點E的坐標和△BEC面積的最大值各是多少即可．

（3）在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形．然后分三種情況討論，根據(jù)平行四邊形的特征，求出使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形的點P的坐標是多少即可．

(1)∵直線y＝﹣2x+3與x軸交于點C，與y軸交于點B，

∴點B的坐標是(0，3)，點C的坐標是(，0)，

∵拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B、C兩點，

∴，

解得，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣2x2+x+3；

(2)如圖1，過點E作y軸的平行線EF交直線BC于點M，EF交x軸于點F，

∵點E是直線BC上方拋物線上的一動點，

∴設點E的坐標是(x，﹣2x2+x+3)，

則點M的坐標是(x，﹣2x+3)，

∴EM＝﹣2x2+x+3﹣(﹣2x+3)＝﹣2x2+3x，

∴S△BEC＝S△BEM+S△MEC

＝EMOC

＝×(﹣2x2+3x)×

＝﹣(x﹣)2+，

∴當x＝時，即點E的坐標是(，)時，△BEC的面積最大，最大面積是；

(3)在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，

①如圖2，AM∥PQ，AM＝PQ．

由(2)，可得點M的橫坐標是，

∵點M在直線y＝﹣2x+3上，

∴點M的坐標是(，)，

又∵拋物線y＝﹣2x2+x+3的對稱軸是x＝，

∴設點P的坐標是(x，﹣2x2+x+3)，

∵點A的坐標是(﹣1，0)，

∴xP﹣xA＝xQ﹣xM，x﹣(﹣1)＝﹣，

解得x＝﹣，

此時P(﹣，﹣3)；

②如圖3，由(2)知，可得點M的橫坐標是，

∵點M在直線y＝﹣2x+3上，

∴點M的坐標是(，)，

又∵拋物線y＝﹣2x2+x+3的對稱軸是x＝，

∴設點P的坐標是(x，﹣2x2+x+3)，點Q的橫坐標是，

∵點A的坐標是(﹣1，0)，

∴xQ﹣xA＝xP﹣xM，即﹣(﹣1)＝x﹣，

解得x＝2，

此時P(2，﹣3)；

③如圖4，由(2)知，可得點M的橫坐標是，

∵點M在直線y＝﹣2x+3上，

∴點M的坐標是(，)，

又∵拋物線y＝﹣2x2+x+3的對稱軸是x＝，

∴設點P的坐標是(x，﹣2x2+x+3)，點Q的橫坐標是，

∵點A的坐標是(﹣1，0)，

∴xP﹣xA＝xM﹣xQ，即x﹣(﹣1)＝﹣，

解得x＝﹣，

此時P(﹣，2)；

綜上所述，在拋物線上存在點P，使得以P、Q、A、M為頂點的四邊形是平行四邊形，點P的坐標是(﹣，﹣3)或(2，﹣3)或(﹣，2)．