Question

13．重慶市政府出臺10項措施幫助大學畢業(yè)生就業(yè)，鼓勵自主創(chuàng)業(yè)，為此，我市設1億元大中專畢業(yè)生創(chuàng)業(yè)基金，畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)可獲5～8萬元的貸款．大學生李某畢業(yè)響應國家“自主創(chuàng)業(yè)”的號召，在批發(fā)市場投資開辦了一個博彩文具批發(fā)超市．該文具批發(fā)超市在開學前8月31日購進一種新上市的多功能文具袋，9月份（9月1日至9月30日）進行30天的試銷售，購進價格為20元/個．在開學的1～20天里，學生需求量大，貨源緊缺，售價與天數(shù)成一次函數(shù)關系，日銷售量y（個）與銷售時間x（天）之間有如下關系：y=-2x+80（1≤x≤20，x取正整數(shù)）；由于價格偏高，銷量減少，李某想到了降價銷售，刺激消費，在以后的20～30天里，售價與天數(shù)可以近似看作反比例函數(shù)關系，此時銷售量y（個）與銷售時間x（天）之間有如下關系：y=$\frac{1}{10}$x²（20≤x≤30，x取正整數(shù)）；又知銷售價格z（元/個）與銷售時間x（天，x取正整數(shù)）之間的函數(shù)關系滿足如圖所示的函數(shù)圖象．李某租用的超市其他固定支出平均每天30元，還聘請了一位收銀員，和兩位導購員，平均每人每天支付工資30元．
（1）請直接寫出z關于x的函數(shù)關系式；
（2）請問在這30天（9月1日至9月30日）的試銷中，哪一天的收益最大？最大收益是多少？
（3）國務院規(guī)定：9月30日至10月7日放假調休，過雙節(jié)．“十?一”黃金周期間，李某采用降低售價從而提高日銷售量的銷售策略．從10月1日起，每天銷售價格比9月30日的銷售價格降低0.2a%而每天的日銷售量反而比9月30日提高4a%，同時要求售價不低于25元/個．員工放假期間工資按國家的規(guī)定發(fā)放，是平時工資的3倍，超市其他固定支出不變，要使黃金周期間（9月30日至10月7日）的總利潤達到11100元，求整數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圖象得出銷售價格z與銷售時間x（天）的關系為一次函數(shù)關系進而求出即可；
（2）根據(jù)當1≤x≤20時，以及當20＜x≤30時，表示出日銷售利潤，進而解答即可；
（3）首先利用（2）中所求解析式，利用二次函數(shù)的最值求法以及一次函數(shù)的增減性，利用已知列出等式方程：（30-20）×90+[30（1-0.2a%）-20]×90（1+4a%）×7-（30+90×3）×8=11100（10-6a%）（1+4a%）=20，進而求出a的值即可．

解答 解：（1）$z=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}x+35（1≤x≤20，x為整數(shù)）\\ \frac{900}{x}（20≤x≤30，x為整數(shù)）\end{array}\right.$；

（2）設每天的收益為w元．
①當 1≤x≤20，x為整數(shù)時，${w_1}=（{\frac{1}{2}x+35}）（{-2x+80}）-30-3×30$=-x²+10x+1080=-（x-5）²+1105，
所以，當x=5時，w_最大值=1105元．…．（4分）
②當 20≤x≤30，x為整數(shù)時，${w_2}=（{\frac{900}{x}-20}）×\frac{1}{10}{x^2}-30-3×30$=-2x²+90x-120，
對稱軸$x=-\frac{2a}=-\frac{90}{-4}=22.5$，且拋物線開口向下．
所以，x=22或者23時，w_最大值=892元
因為892＜1105
所以，當x=5時，w_最大值=1105元．
答：在第5天的收益最大，最大收益為1105元．

（3）根據(jù)題意得：（30-20）×90+[30（1-0.2a%）-20]×90（1+4a%）×7-（30+90×3）×8=11100（10-6a%）（1+4a%）=20，設a%=t（10-6t）（1+4t）=2012t²-17t+5=0
△=289-240=49$t=\frac{17±7}{24}$
所以，${t_1}=\frac{24}{24}=1，{t_2}=\frac{10}{24}=\frac{5}{12}≈0.417$
所以，a₁=100，a₂=41.7≈42
因為要求售價不低于25元/個，
而30（1-0.2a%）=30×0.8=24＜25
所以，a₁=100應舍去．
答：整數(shù)a的值為42．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的應用和一元二次方程的應用，根據(jù)已知得出利潤與銷量之間的函數(shù)關系式是解題關鍵．