【題目】如圖,矩形ABCD,AD=1,CD=2,點P為邊CD上的動點(P不與C重合),作點P關于BC的對稱點Q,連結AP,BP和BQ,現(xiàn)有兩個結論:①若DP≥1,當△APB為等腰三角形時,△APB和△PBQ一定相似;②記經(jīng)過P,Q,A三點的圓面積為S,則4π≤S<.
下列說法正確的是( 。
A. ①對②對B. ①對②錯C. ①錯②對D. ①錯②錯
【答案】A
【解析】
①在Rt△ADP中,由AP=2AD,推出∠APD=30°,即可解決問題.
②求出兩種特殊位置的⊙O的面積即可判斷.
①如圖1中,
∵DP≥1,當△APB為等腰三角形,
∴只有AP=AB,
在Rt△ADP中,∵∠D=90°,AP=2,AD=1,
∴PA=2AD,
∴∠APD=30°,
∵CD∥AB,
∴∠CPB=∠ABP,
∵AP=AB,
∴∠ABP=∠APB,
∴∠APB=∠CPB=75°,
∵P,Q關于BC對稱,
∴BP=BQ,
∴∠BPC=∠BQC=75°,
∴△APB∽△BPQ,故①正確.
②如圖2中,作△APQ的外接圓⊙O.
當點O與B重合時,⊙O的半徑最小,此時⊙O的面積為4π,
當點P與C重合時,設OA=OP=x,
在Rt△AOB中,則有x2=22+(x﹣1)2,
∴x=,
此時⊙O的面積=π,
觀察圖象可知:4π≤S<π.故②正確,
故選:A.
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【題目】小明在學了尺規(guī)作圖后,通過“三弧法”作了一個△ACD,其作法步驟是:①作線段AB,分別以A,B為圓心,AB長為半徑畫弧,兩弧的交點為C;②以B為圓心,AB長為半徑畫弧交AB的延長線于點D;③連結AC,BC,CD.下列說法不正確的是( )
A.∠A=60°B.△ACD是直角三角形
C.BC=CDD.點B是△ACD的外心
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【題目】某公司銷售兩種椅子,普通椅子價格是每把180元,實木椅子的價格是每把400元.
(1)該公司在2019年第一月銷售了兩種椅子共900把,銷售總金額達到了272000元,求兩種椅了各銷售了多少把?
(2)第二月正好趕上市里開展家俱展銷活動,公司決定將普通椅子每把降30元后銷售,實木椅子每把降價2a%(a>0)后銷售,在展銷活動的第一周,該公司的普通椅子銷售量比上一月全月普通椅子的銷售量多了a%:實木椅子的銷售量比第一月全月實木椅子的銷售量多了a%,這一周兩種椅子的總銷售金額達到了251000元,求a的值.
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【題目】如圖,在矩形AOBC中,點A的坐標為(-2,1),點C的縱坐標是4,則B,C兩點的坐標分別是( )
A. (,),(,)B. (,),(,)
C. (,),(,)D. (,),(,)
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【題目】已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是過點A的直線,過點D作DB⊥MN于點B,連接CB.
(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖①過點C作CE⊥CB,與MN交于點E,則易發(fā)現(xiàn)BD和EA之間的數(shù)量關系為 ;BD、AB、CB之間的數(shù)量關系為 .
(2)拓展探究
當MN繞點A旋轉到如圖②位置時,BD、AB、CB之間滿足怎樣的數(shù)量關系?請寫出你的猜想,并證明.
(3)解決問題
當MN繞點A旋轉到如圖③位置時(點C,D在直線MN兩側),若此時∠BCD=30°,BD=2,則CB= .
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【題目】小林從點A出發(fā),沿著坡角為α的斜坡向上走了650米到達點B,且sinα=.然后又沿著坡度i=1:3的斜坡向上走了500米達到點C.
(1)小明從A點到B點上升的高度是多少米?
(2)小明從A點到C點上升的高度CD是多少米?(結果保留根號)
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【題目】如圖,已知A(3,m),B(﹣2,﹣3)是直線AB和某反比例函數(shù)的圖象的兩個交點.
(1)求直線AB和反比例函數(shù)的解析式;
(2)觀察圖象,直接寫出當x滿足什么范圍時,直線AB在雙曲線的下方;
(3)反比例函數(shù)的圖象上是否存在點C,使得△OBC的面積等于△OAB的面積?如果不存在,說明理由;如果存在,求出滿足條件的所有點C的坐標.
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【題目】有四張僅一面分別標有1,2,3,4的不透明紙片,除所標數(shù)字不同外,其余都完全相同.
(1)將四張紙片分成兩組,標有1、3的為第一組,標有2、4的為第二組,背面向上,放在桌上,從兩組中各隨機抽取一張,求兩次抽取數(shù)字和為5的概率;
(2)將四張紙片洗勻后背面向上,放在桌上,一次性從中隨機抽取兩張,用樹形圖法或列表法,求所抽取數(shù)字和為5的概率.
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【題目】(1)閱讀理解
利用旋轉變換解決數(shù)學問題是一種常用的方法.如圖1,點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點,PA=1,PB=,PC=2.求∠BPC的度數(shù).
為利用已知條件,不妨把△BPC繞點C順時針旋轉60°得△AP′C,連接PP′,則PP′的長為_____;在△PAP′中,易證∠PAP′=90°,且∠PP′A的度數(shù)為_____,綜上可得∠BPC的度數(shù)為_____;
(2)類比遷移
如圖2,點P是等腰Rt△ABC內(nèi)的一點,∠ACB=90°,PA=2,PB=,PC=1,求∠APC的度數(shù);
(3)拓展應用
如圖3,在四邊形ABCD中,BC=3,CD=5,AB=AC=AD.∠BAC=2∠ADC,請直接寫出BD的長.
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