Question

3．如圖1，PQ為⊙O的直徑，點B在線段PQ的延長線上，OQ=QB=$\frac{1}{2}$，動點A在⊙O的上半圓運動（含P、Q兩點），以線段AB為邊向上作等邊三角形ABC．
（1）當線段AB所在的直線與⊙O相切時，則AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）如圖2，設∠AOB=α，當線段AB與⊙O只有一個公共點（即A點）時，則α的取值范圍是0°≤α≤60°；
（3）如圖3，當線段AB與⊙O有兩個公共點A、M時，連接MQ，如果AO⊥PM于點D，求CM的長度．

Answer 1

分析 （1）連接OA，如下圖1，根據(jù)條件可求出AB．
（2）如下圖2，首先考慮臨界位置：當點A與點Q重合時，線段AB與圓O只有一個公共點，此時α=0°；當線段AB所在的直線與圓O相切時，線段AB與圓O只有一個公共點，此時α=60°．從而定出α的范圍．
（3）連接MQ，如下圖3，易證AO∥MQ，從而得到△PNO∽△PMQ，△BMQ∽△BAO，又PO=OQ=BQ，從而可以求出MQ、ON，進而求出PN、NM、AM、CM的值．

解答 解：（1）如圖1，連接OA，過點B作BH⊥AC，垂足為H，如圖1所示．
∵AB與⊙O相切于點A，
∴OA⊥AB．
∴∠OAB=90°．
∵OQ=QB=$\frac{1}{2}$，
∴OA=$\frac{1}{2}$，OB=OQ+QB=1．
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}-O{A}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（2）①當點A與點Q重合時，線段AB與圓O只有一個公共點，此時α=0°；
②當線段A₁B所在的直線與圓O相切時，如圖2所示，
線段A₁B與圓O只有一個公共點，
此時OA₁⊥BA₁，OA₁=$\frac{1}{2}$，OB=1，
∴cos∠A₁OB=$\frac{{A}_{1}O}{OB}$=$\frac{1}{2}$．
∴∠A₁OB=60°．
∴當線段AB與圓O只有一個公共點（即A點）時，α的范圍為：0°≤α≤60°．
故答案為：0°≤α≤60°．

（3）連接MQ，如圖3所示．
∵PQ是⊙O的直徑，
∴∠PMQ=90°．
∵OA⊥PM，
∴∠PNO=90°．
∴∠PNO=∠PMQ．
∴ON∥MQ．
∴△PNO∽△PMQ．
∴$\frac{PN}{PM}=\frac{ON}{MQ}=\frac{PO}{PQ}$，
∵PO=OQ=$\frac{1}{2}$PQ．
∴PN=$\frac{1}{2}$PM，ON=$\frac{1}{2}$MQ．
同理：MQ=$\frac{1}{2}$AO，BM=$\frac{1}{2}$AB．
∵AO=$\frac{1}{2}$，
∴MQ=$\frac{1}{4}$．
∴ON=$\frac{1}{8}$．
∵∠PNO=90°，PO=$\frac{1}{2}$，ON=$\frac{1}{8}$，
∴PN=$\sqrt{O{P}^{2}-O{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
∴PM=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴NM=PN=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
∵∠ANM=90°，AN=A0-ON=$\frac{3}{8}$，
∴AM=$\sqrt{A{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=BC，∠CAB=60°．
∵BM=$\frac{1}{2}$AB，
∴AM=BM．
∴CM⊥AB．
∵AM=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴BM=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，AB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴AC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴CM=$\sqrt{A{C}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
∴CM的長度為$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．

點評 此題屬于圓的綜合題．考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、切線的性質(zhì)、勾股定理以及特殊三角函數(shù)值等知識．注意準確作出輔助線，利用臨界值法求角的取值范圍是解此題的關鍵．