Question

1．當某一面積S關于某一線段x是一次函數(shù)時，則稱S是關于x的奇特面積．如圖，∠BAC=45°，點D在AC邊上，且DA=2．點P，Q同時從D點出發(fā)，分別沿射線DC、射線DA運動，P點的運行速度是Q點的$\sqrt{2}$倍，當點Q到達A時，點P，Q同時停止運動．過點Q作AC的垂線段QR，使QR=PQ，連接PR．設QD=x，△PQR和∠BAC重疊部分的面積為S，請問S是否存在關于x的奇特面積？若存在，求奇特面積S關于x的函數(shù)關系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 分兩種情形求出S與x的函數(shù)關系式，再根據(jù)S是關于x的奇特面積作出判斷即可解決問題．

解答 解：存在，理由如下：
當點R在AB上時，∵∠A=45°，RQ⊥AC，
∴AQ=RQ=PQ，
∴2-x=x+$\sqrt{2}$x，
∴x=2-$\sqrt{2}$，
①當0＜x$≤2-\sqrt{2}$時如圖1中，S=$\frac{1}{2}$PQ²=$\frac{1}{2}$（3+2$\sqrt{2}$）x²，

②當2-$\sqrt{2}$＜x≤2時，如圖2中，

∵RQ⊥AC，RQ=PQ，
∴∠R=∠RPQ=45°，
∵∠A=45°，
∴∠A+∠RPQ=90°，
∴∠AFP=90°=∠EFR，
∵RE=RQ-EQ=（1+$\sqrt{2}$）x-（2-x），
∴S=S_△PQR-S_△EFR=$\frac{1}{2}$（3+2$\sqrt{2}$）²-$\frac{1}{4}$[（1+$\sqrt{2}$）x-（2-x）]²=（2+$\sqrt{2}$）x-1．
綜上所述，當2-$\sqrt{2}$＜x≤2，S=（2+$\sqrt{2}$）x-1是一次函數(shù)，
∴當2-$\sqrt{2}$＜x≤2，S是關于x的奇特面積．

點評 本題考查一次函數(shù)綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形面積等知識，解題的關鍵是理解題意，學會分類討論求出S與x的函數(shù)關系，屬于中考壓軸題．