Question

11．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：AB=AF；
（2）若BC=2AB，∠BCD=110°，求∠ABE的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，易證得△DEC≌△AEF（AAS），繼而可證得DC=AF，又由DC=AB，證得結(jié)論；
（2）由（1）可知BF=2AB，EF=EC，然后由∠BCD=110°求得BE平分∠CBF，繼而求得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD=AB，CD∥AB，
∴∠DCE=∠F，∠FBC+∠BCD=180°，
∵E為AD的中點(diǎn)，
∴DE=AE．
在△DEC和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCE=∠F}\\{∠DEC=∠AEF}\\{DE=AE}\end{array}\right.$，
∴△DEC≌△AEF（AAS）．
∴DC=AF．
∴AB=AF；

（2）解：由（1）可知BF=2AB，EF=EC，
∵∠BCD=110°，
∴∠FBC=180°-110°=70°，
∵BC=2AB，
∴BF=BC，
∴BE平分∠CBF，
∴∠ABE=$\frac{1}{2}$∠FBC=$\frac{1}{2}$×70°=35°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．注意證得△DEC≌△AEF與△BCF是等腰三角形是關(guān)鍵．