Question

已知關(guān)于x的一元二次方程（a-1）x²+（2-3a）x+3=0的一個(gè)根為1．
（1）求a的值；
（2）若m、n（m＜n）是此方程的兩根，直線l：y=mx+n交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)O′在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，求反比例函數(shù)y=

k

x

的解析式．
（3）將直線l繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜90°），得到直線l′，l′交y軸于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線，與（2）中的反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于點(diǎn)Q，當(dāng)APQO′的面積為9-

3 3

2

時(shí)，求角θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)方程解的定義把x=1代入（a-1）x²+（2-3a）x+3=0得到關(guān)于a的一次方程，然后解方程可得到a=2；
（2）先解方程x²-4x+3=0得到m=1，n=3，再確定直線l：y=x+3與坐標(biāo)的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，3），然后根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)易得
四邊形AOBO′為正方形，所以O(shè)′點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，3），再把O′點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=

k

x

求出k即可得到反比例函數(shù)解析式；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），延長AO′交直線PQ于E點(diǎn)，則表示出E點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，t），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-

9

t

，t），再利用S_{四邊形APQO′}=S_△APE-S_△O′QE得到

1

2

•3•t-

1

2

•（t-3）•（-

9

t

+3）=9-

3 3

2

，解出t=3

3

，然后利用銳角三角函數(shù)求出∠PAO=60°，而∠BAO=45°，所以∠PAB=15°，即∠θ=15°．

解答：解：（1）把x=1代入（a-1）x²+（2-3a）x+3=0得a-1+2-3a+3=0，
解得a=2；
（2）把a(bǔ)=2代入方程得到x²-4x+3=0，解得m=1，n=3，
∵直線l的解析式為y=x+3，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∴OA=OB，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∵原點(diǎn)O與點(diǎn)O′關(guān)于AB對(duì)稱，
∴四邊形AOBO′為正方形，
∴O′點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，3），
把O′（-3，3）代入y=

k

x

得k=-3×3=-9，
∴反比例函數(shù)解析式為y=-

9

x

；
（3）如圖，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），延長AO′交直線PQ于E點(diǎn)，
則E點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，t），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（-

9

t

，t），
∵S_{四邊形APQO′}=S_△APE-S_△O′QE，
∴

1

2

•3•t-

1

2

•（t-3）•（-

9

t

+3）=9-

3 3

2

，
∴t=3

3

，
∴OP=3

3

，
∴tan∠PAO=

PO

OA

=

3 3

3

=

3

，
∴∠PAO=60°，
而∠BAO=45°，
∴∠PAB=60°-45°=15°，
即角θ的值為15°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的判定與性質(zhì)；熟練運(yùn)用三角形面積公式和銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算．