Question

已知四邊形有一個內角為120°，一條對角線把四邊形分成一個等邊三角形和一個直角三角形，且該對角線長為2，求該四邊形的面積．

Answer 1

考點：二次根式的應用

專題：

分析：首先由等邊三角形的性質得出∠CAB=60°，AC=BC=AC=2，根據三角形的面積公式求出S_△ABC=

1

2

AB•（AC•sin∠CAB）=

1

2

×2×（2×

3

2

）=

3

．然后在Rt△ADC中，求出∠CAD=∠DAB-∠CAB=60°．再分兩種情況進行討論：①∠D=90°；②如果∠ACD=90°．分別求出S_△ADC，再根據S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC即可求解．

解答：解：如圖，四邊形ABCD中，∠DAB=120°，AC把四邊形分成等邊三角形ABC和一個直角三角形ADC，AC=2．
∵三角形ABC中，AC=2，
∴∠CAB=60°，AC=BC=AC=2，
∴S_△ABC=

1

2

AB•（AC•sin∠CAB）=

1

2

×2×（2×

3

2

）=

3

．
在Rt△ADC中，∠CAD=∠DAB-∠CAB=120°-60°=60°．
分兩種情況：
①如果∠D=90°，如圖1，
∵∠ACD=30°，AC=2，
∴AD=

1

2

AC=1，CD=

3

AD=

3

，
∴S_△ADC=

1

2

AD•CD=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=

3

+

3

2

=

3 3

2

；
②如果∠ACD=90°，如圖2，
∵∠D=30°，AC=2，
∴CD=

3

AC=2

3

，
∴S_△ADC=

1

2

AC•CD=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=

3

+2

3

=3

3

．
綜上所述，該四邊形的面積為

3 3

2

或3

3

．

點評：本題考查了二次根式的應用，等邊三角形、直角三角形的性質，進行分類討論是解題的關鍵．