Question

14．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，點(diǎn)D、E在邊AC上，AD=4cm，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，以DE為邊的矩形DEFG的頂點(diǎn)G在邊AB上，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ∥AB交BC于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），矩形DEFG與△PCQ重疊部分圖形的面積為s（cm²）．
（1）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)線段PQ與矩形DEFG的邊DG有交點(diǎn)，令交點(diǎn)為H，用含t的代數(shù)式表示線段DH的長．
（2）求s與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）點(diǎn)P出發(fā)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，以acm/s的速度沿D-G-F-E-F運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N是線段PQ中點(diǎn)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)M、N能夠重合在矩形DEFG的邊上，求動(dòng)點(diǎn)M的速度a．

Answer 1

分析 （1）由△ADG∽△ACB求出DG，再由△PDH∽ADG，求出DH，即可；
（2）分四段當(dāng)0＜t≤2時(shí)，當(dāng)2＜t≤4時(shí)，當(dāng)4＜t≤6時(shí)，當(dāng)6＜t≤8時(shí)分別求出面積即可；
（3）先判斷出，只有點(diǎn)M在EF上時(shí)，點(diǎn)P與D重合，M，N才能重合，此時(shí)t=4，點(diǎn)M走的路程為at．依題意，由at=8-$\frac{3}{2}$或at=8+$\frac{3}{2}$．

解答 解：（1）由運(yùn)動(dòng)有，AP=t，AD=4，
∴PD=4-t，
∵△ADG∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{DG}{BC}$，
∴DG=3，
∵△PDH∽ADG，
∴$\frac{DH}{DG}=\frac{PD}{AD}$，
∴$\frac{DH}{3}=\frac{4-t}{4}$，
∴DH=$\frac{3}{4}$（4-t）=3-$\frac{3}{4}$t，
（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，如圖1，

S=S_{四邊形DEFG}-S_△GFH=3×2-$\frac{1}{2}$t×$\frac{3}{4}$t=6-$\frac{3}{8}$t²，
當(dāng)2＜t≤4時(shí)，如圖2，

S=S_{四邊形DEFG}=$\frac{1}{2}$×2[$\frac{3}{4}$（4-t）+$\frac{3}{4}$（6-t）]=$\frac{15}{2}$-$\frac{3}{2}$t，
當(dāng)4＜t≤6時(shí)，如圖3，

S=S_△GFH=$\frac{1}{2}$×（6-t）×$\frac{3}{4}$（6-t）=$\frac{3}{8}$t²-$\frac{9}{2}$t+$\frac{27}{2}$，
當(dāng)6＜t≤8時(shí)，S=0，
（3）由題意知，只有點(diǎn)M在EF上時(shí)，點(diǎn)P與D重合，M，N才能重合，此時(shí)t=4，
點(diǎn)M走的路程為at．依題意，由at=8-$\frac{3}{2}$或at=8+$\frac{3}{2}$，
∴a=$\frac{13}{8}$或a=$\frac{19}{8}$．

點(diǎn)評 此題是四邊形綜合題，主要考查了三角形相似，三角形，四邊形的面積的計(jì)算方法，解本題的關(guān)鍵是表示出線段，也是難點(diǎn)．