Question

如圖所示，將矩形紙片ABCD按如圖方式折疊，EF、EC為折痕，折疊后點(diǎn)A落在邊CD的A處，點(diǎn)B落在邊A′E的B′處．若A′D=4，BC=8，則AE的長(zhǎng)是（　　）

• A、10
• B、11
• C、12
• D、13

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：

分析：根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得AD=BC，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AF=A′F，B′C=BC，設(shè)AF=x，表示出DF，然后在Rt△A′DF中，利用勾股定理列出方程求解得到AF，再求出DF，然后求出△A′DF和△CB′A′相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出A′B′，利用勾股定理列式求出A′C，然后求出CD，從而得到AB，設(shè)AE=y，表示出BE，再根據(jù)△AEF和△BCE相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可．

解答：解：∵矩形ABCD的邊BC=8，
∴AD=BC=8，
由翻折的性質(zhì)得，AF=A′F，B′C=BC，
設(shè)AF=x，則DF=8-x，
在Rt△A′DF中，由勾股定理得，A′D²+DF²=A′F²，
即4²+（8-x）²=x²，
解得x=5，
∴DF=8-x=8-5=3，
由翻折得，∠EA′F=∠A=90°，∠CB′E=∠B=90°，CB′=BC=8，
∴∠DA′F+∠CA′B′=90°，∠A′B′C=90°，
∵∠DA′F+∠A′FD=90°，
∴∠A′FD=∠CA′B′，
又∵∠D=∠A′B′C=90°，
∴△A′DF∽△CB′A′，
∴

DF

A′B′

=

A′D

CB′

，
即

3

A′B′

=

4

8

，
解得A′B′=6，
由勾股定理得，A′C=

A′B′2+CB′2

=

62+82

=10，
∴CD=A′D+A′C=4+10=14，
∴AB=CD=14，
設(shè)AE=y，則BE=14-y，
由翻折的性質(zhì)得，∠AEF=∠A′EF，∠BEC=∠B′EC，
∴∠AEF+∠BEC=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE=∠BEC，
又∵∠A=∠B=90°，
∴△AEF∽△BCE，
∴

AF

BE

=

AE

BC

，
即

5

14-y

=

y

8

，
整理得，y²-14y+40=0，
解得y₁=4，y₂=10，
由圖可知，AE大于AB的一半，
所以AE=10．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于多次求三角形相似并利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式．