Question

12．如圖，矩形AOCB的兩邊在坐標(biāo)軸上，拋物線y=-x²+4x+2經(jīng)過A、B兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)及線段AB的長；
（2）若點(diǎn)P由點(diǎn)A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿AB邊向點(diǎn)B移動，1秒后點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)以每秒4個單位長度的速度沿AO-OC-CB邊向點(diǎn)B移動，當(dāng)其中一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也停止移動，設(shè)點(diǎn)P的移動時間為t秒．
①當(dāng)△PQC是直角三角形時t的值；
②當(dāng)PQ∥OB時，對于拋物線上一點(diǎn)H，滿足∠POQ＜∠HOQ，求點(diǎn)H橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的點(diǎn)的特點(diǎn)和矩形的性質(zhì)，直接求出；
（2）①由運(yùn)動特點(diǎn)分三種情況，用勾股定理計算即可；②當(dāng)PQ∥OB時，時間t=$\frac{8}{7}$，再求出特殊位置的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，在判斷出即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=-x²+4x+2經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，
∴A（0，2），
∵AB是矩形的一條邊，
∴AB=4，
（2）Ⅰ、Q在AO邊上，由運(yùn)動有AP=t，AQ=4（t-1），
∴P（t，2），Q（0，6-4t），
∵C（4，0），
根據(jù)勾股定理得PQ²+PC²=CQ²，
∴t²+[4（t-1）]²+4+（4-t）²=16+（2-4（t-1））²，
∴t=-2+2$\sqrt{3}$，或t=-2-2$\sqrt{3}$（舍）
∴t=-2+2$\sqrt{3}$．
Ⅱ、Q在OC邊上，AP=OQ，
∴4（t-1）-2=t．
∴t=2，
Ⅲ、Q在CB邊上，同Ⅰ的方法得，t=3，
②當(dāng)PQ∥OB時，
∴$\frac{CP}{CB}=\frac{CQ}{CO}$
∵P（t，2），Q（6-4t，0），
∴CP=6-t，CQ=4-（4t-2）=6-4t，
∴$\frac{6-t}{2}=\frac{6-4t}{4}$，
∴t=$\frac{8}{7}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{8}{7}$，2）；
由題意聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{7}{4}x}\\{y=-{x}^{2}+4x+2}\end{array}\right.$  和$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{7}{4}x}\\{y=-{x}^{2}+4x+2}\end{array}\right.$
∴x=$\frac{9±\sqrt{209}}{8}$和x=$\frac{23±3\sqrt{73}}{8}$，
∵∠POQ＜∠HOQ
∴H點(diǎn)的取值范圍為x＜$\frac{23-3\sqrt{73}}{8}$和x＞$\frac{9+\sqrt{209}}{8}$．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用運(yùn)動時間表示出線段．