Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為

2

的正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM．
（1）求證：△AMB≌△ENB；
（2）①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最��；
②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并求出這個(gè)最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BM=BN，∠MBN=60°，則可判斷△ABE是等邊三角形，得到BA=BE，∠ABE=60°，易得∠ABM=∠EBN，然后根據(jù)“SAS”可判斷△AMB≌△ENB；
（2）①連接AC，AC與BD相交于點(diǎn)O，如圖1，根據(jù)正方形的性質(zhì)得AC=2，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到AM+CM≥AC（當(dāng)M點(diǎn)在AC上時(shí)取等號），于是得到當(dāng)M點(diǎn)在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最��；
②由△BMN為等邊三角形得BM=MN，由△AMB≌△ENB得EN=AM，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)點(diǎn)E、N、M、C共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小，如圖2，作EH⊥BC于H，先計(jì)算出∠EBH=30°，在Rt△EBH中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到EH=

1

2

BE=

2

2

，BH=

3

EH=

6

2

，然后在Rt△EHC中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出CE=

3

+1．

解答：（1）證明：∵BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，
∴BM=BN，∠MBN=60°，
∵△ABE是等邊三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°，
∵∠ABM+∠ABN=60°，∠EBN+∠ABN=60°，
∴∠ABM=∠EBN，
在△AMB和△ENB中，

AB=EB ∠ABM=∠EBN BM=BN

，
∴△AMB≌△ENB（SAS）；
（2）解：①連接AC，AC與BD相交于點(diǎn)O，如圖1，
∵四邊形ABCD是邊長為

2

的正方形，
∴AC=

2

×

2

=2，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，
∵AM+CM≥AC（當(dāng)M點(diǎn)在AC上時(shí)取等號），
∴當(dāng)M點(diǎn)在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最小，最小值為2；
②∵△BMN為等邊三角形，
∴BM=MN，
∵△AMB≌△ENB，
∴EN=AM，
∴當(dāng)點(diǎn)E、N、M、C共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小，如圖2，
作EH⊥BC于H，
∵∠ABE=60°，∠ABC=90°，
∴∠EBH=30°，
在Rt△EBH中，EH=

1

2

BE=

2

2

，
BH=

3

EH=

6

2

，
在Rt△EHC中，CH=BH+BC=

6

2

+

2

，
∴CE²=CH²+EH²=（

6

2

+

2

）²+（

2

2

）²=4+2

3

=（

3

+1）²，
∴CE=

3

+1，
∴當(dāng)M點(diǎn)在CE上時(shí)，AM+BM+CM的值最小，這個(gè)最小值為

3

+1．

點(diǎn)評：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會(huì)利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系和勾股定理進(jìn)行計(jì)算；會(huì)運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短解決有關(guān)線段的和的最小值問題．