Question

對于二次函數(shù)y=ax²-（2a-1）x+a-1（a≠0），有下列結(jié)論：
①其圖象與x軸一定相交；
②若a＜0，函數(shù)在x＞1時，y隨x的增大而減小；
③無論a取何值，拋物線的頂點始終在同一條直線上；
④無論a取何值，函數(shù)圖象都經(jīng)過同一個點．
其中所有正確的結(jié)論是

 

．（填寫正確結(jié)論的序號）

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：

分析：令y=0，解方程求出拋物線與x軸的兩個交點坐標，從而判斷出①④正確，利用拋物線的頂點坐標列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性判斷出②錯誤；消掉a即可得到頂點所在的直線，判斷出③正確．

解答：解：令y=0，則ax²-（2a-1）x+a-1=0，
解得x₁=1，x₂=

a-1

a

，
所以，函數(shù)圖象與x軸的交點為（1，0），（

a-1

a

，0），故①④正確；
當a＜0時，

a-1

a

＞1，
所以，函數(shù)在x＞1時，y先隨x的增大然后再減小，故②錯誤；
∵x=-

b

2a

=-

-(2a-1)

2a

=1-

1

2a

，
y=

4ac-b2

4a

=

4a(a-1)-(2a-1)2

4a

=-

1

4a

，
∴y=

1

2

x-

1

2

，
即無論a取何值，拋物線的頂點始終在直線y=

1

2

x-

1

2

上，故③正確；
綜上所述，正確的結(jié)論是①③④．
故答案為：①③④．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的與x軸的交點，二次函數(shù)的增減性，頂點坐標，難點在于利用a表示出頂點的橫坐標與縱坐標，然后消掉a得到頂點所在的直線．