Question

5．觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上對應點間的距離：4與-2，3與5，-2與-6，-4與3．如：4與-2對應點間的距離是|4-（-2）|=6；3與5對應點間的距離是|3-5|=2．
回答下列問題：
（1）若數(shù)軸上A、B兩點分別表示有理數(shù)a、b，則A、B兩點間的距離是多少？（用含a、b的式子表示）
答：|b-a|；
（2）若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x，點B表示的數(shù)為-1，則A與B兩點間的距離可以表示為|x+1|；
（3）結合數(shù)軸可得|x-2|+|x+3|的最小值為5；
（4）若關于x的方程|x-1|+|x+1|+|x-5|=a無解，則a的取值范圍是a＜6．

Answer 1

分析 （1）直接借助數(shù)軸可以得出；
（2）結合數(shù)軸，分三種情況進行討論．當x＜-1時，距離為-x-1，當-1＜x＜0時，距離為x+1，當x＞0，距離為x+1．綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為|x+1|；
（3）|x-2|即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離．|x+3|=|x-（-3）|即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x與-3之間的距離． 借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案；
（4）分情況討論：①當x≥5時，②當1≤x＜5時，③當-1≤x＜1時，④當x＜-1時，分別得出f（x）的取值范圍，進而確定f（x）的取值范圍，從而得出a的值．

解答 解：（1）由觀察可知：A、B兩點間的距離是|b-a|；
（2）結合數(shù)軸，我們發(fā)現(xiàn)應分以下三種情況進行討論．

當x＜-1時，距離為-x-1，

當-1＜x＜0時，距離為x+1，

當x＞0，距離為x+1．綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為|x+1|；
（3）當x＜-3時，|x-2|+|x+3|=2-x-（3+x）=-2x-1，此時最小值大于5；
當-3≤x≤2時，|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5；
當x＞2時，|x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1，此時最小值大于5；
所以|x-2|+|x+3|的最小值為5，取得最小值時x的取值范圍為-3≤x≤2；
（4）先求f（x）=|x-1|+|x+1|+|x-5|的值域：
當x≥5時，f（x）=x-1+x+1+x-5=3x-5≥10，
當1≤x＜5時，f（x）=x-1+x+1+5-x=x+5，此時值域為[6，10），
當-1≤x＜1時，f（x）=1-x+x+1+5-x=7-x，此時值域為（6，8]，
當x＜-1時，f（x）=1-x-x-1+5-x=5-3x＞8，此時值域為（8，+∞），
所以f（x）的值域為：f（x）≥6．
即：|x-1|+|x+1|+|x-5|≥6，
因為|x-1|+|x+1|+|x-5|=a無解，
所以a＜6．
故答案為：（1）|b-a|；（2）|x+1|；（3）5；（4）a＜6．

點評 此題考查了數(shù)軸的有關知識，借助數(shù)軸可以使有關絕對值的問題轉化為數(shù)軸上有關距離的問題，反之，有關數(shù)軸上的距離問題也可以轉化為絕對值問題．這種相互轉化在解決某些問題時可以帶來方便．事實上，|A-B|表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點之間的距離．