Question

3．如圖1，已知長(zhǎng)方形ABCD，AB=CD，BC=AD，P為長(zhǎng)方形ABCD上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，沿著A-B-C-D運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)停止，速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P用的時(shí)間為x秒，△APD的面積為ycm²，y和x的關(guān)系如圖2所示，
（1）求當(dāng)x=3和x=9時(shí)，點(diǎn)P走過(guò)的路程是多少？
（2）求當(dāng)x=2，對(duì)應(yīng)y的值；并寫出0≤x≤3時(shí)，y與x之間的關(guān)系式；
（3）當(dāng)y=3時(shí)，求x的值；
（4）當(dāng)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)P使得△APD的周長(zhǎng)最��？若存在，求出此時(shí)∠APD的度數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）從圖2中看，0≤x≤3時(shí)面積越來(lái)越大，從3到9面積不變；結(jié)合圖1可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APD的面積會(huì)越來(lái)越大，點(diǎn)P在BC上時(shí)，△APD的面積不變，由此可知：AB=3，AB+BC=9，直接寫出當(dāng)x=3和x=9時(shí)，點(diǎn)P走過(guò)的路程；
（2）當(dāng)x=2，即AP=2，高仍然為6，此時(shí)△APD的面積即為y；在由圖2利用待定系數(shù)法求出當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y與x之間的關(guān)系式，或由圖1，AP=t，利用面積公式求也可以；
（3）由圖2知，當(dāng)y=3時(shí)有兩種情況，畫圖進(jìn)行討論即可；
（4）作A關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D與BC交于點(diǎn)P，根據(jù)兩邊之和大于第三邊可知A′D最小，即△APD的周長(zhǎng)最小，求出∠APD=∠A′+∠BAP=90°．

解答 解：（1）由題意得：AB=3，AB+BC=9，
∴當(dāng)x=3時(shí)，點(diǎn)P所走的路程為：AB=3，
當(dāng)x=9時(shí)，點(diǎn)P所走的路程為：AB+BC=9，
（2）如圖3，當(dāng)x=3時(shí)，點(diǎn)P與B重合，
y=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$×3×6=9，
∴E（3，9），
如圖4，當(dāng)x=2時(shí)，AP=2，則y=$\frac{1}{2}$AP•AD=$\frac{1}{2}$×2×6=6，
如圖2，設(shè)直線OE的解析式為：y=kx，
把E（3，9）代入得：9=3k，
k=3，
y=3x，
∴當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y與x之間的關(guān)系式：y=3x；
（3）分兩種情況：
①當(dāng)P在AB上時(shí)，如圖2，當(dāng)y=3時(shí)，3=3x，x=1，
②當(dāng)P在CD上時(shí)，如圖5，則AB+BC+CP=t，
∴PD=3+3+6-t=12-t，
∴y=$\frac{1}{2}$PD•AD=$\frac{1}{2}$×6×（12-t）=3（12-t），
當(dāng)y=3時(shí)，3=3（12-t），
t=11，
綜上所述，當(dāng)y=3時(shí)，x的值是1秒或11秒；
（4）存在，如圖6，延長(zhǎng)AB至A′，使AB=A′B，連接A′D，交BC于P，連接AP，
此時(shí)△APD的周長(zhǎng)最小，
∴AA′=AB+BA′=3+3=6，
∴AD=AA′=6，
∴△A′AD是等腰直角三角形，
∴∠A′=45°，
∵∠ABC=90°，
∴BP是AA′的中垂線，
∴AP=PA′，
∴∠A′=∠BAP=45°，
∴∠APD=∠A′+∠BAP=90°．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了矩形、軸對(duì)稱的性質(zhì)，此題動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路線與三角形面積和函數(shù)圖象相結(jié)合，理解函數(shù)圖象的實(shí)際意義是本題的關(guān)鍵，根據(jù)圖象的變化特征確定其點(diǎn)p的位置，從而得出結(jié)論．