Question

13．如圖，分別以銳角△ABC的邊AB、BC、CA為斜邊向外作等腰Rt△DAB、等腰Rt△EBC、等腰Rt△FAC．
求證：（1）AE=DF；（2）AE⊥DF．

Answer 1

分析 如圖，取AB、BC、AC的中點(diǎn)G、H、J，連接GH、HJ、GJ、DG、DH、EG、EH、FJ、FH、FG、延長(zhǎng)DG交JH于N，F(xiàn)G交AE于點(diǎn)O，AE與DF交于點(diǎn)M，首先證明△DGH≌△HJF，其次△DGF≌△AGE，得到DF=AE，再利用“8字型”證明∠FMO=90°即可．

解答 證明：如圖，取AB、BC、AC的中點(diǎn)G、H、J，連接GH、HJ、GJ、DG、DH、EG、EH、FJ、FH、FG、延長(zhǎng)DG交JH于N，F(xiàn)G交AE于點(diǎn)O，AE與DF交于點(diǎn)M．
∵GH∥AC，HJ∥AB，
∴四邊形AGHJ是平行四邊形，
∴GH=AJ，HJ=AG，
∵△ADB是等腰直角三角形，BG=AG，
∴DG=AG=BG，同理FJ=AJ=JC，EH=BH=CH，
∵∠BGH=∠BAC=∠HJC，
∵∠DGH=∠DGB+∠BGH=90°+∠BGH，∠FJH=∠FJC+∠CJH=90°+∠CJH，
∴∠DGH=∠FJH，
在△DGH和△HJF中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=JH}\\{∠DGH=∠FJH}\\{GH=JF}\end{array}\right.$，
∴△DGH≌△HJF，
∴DH=HF，∠GDH=∠JHF，∠GHD=∠JFH，
∵AB∥JH，DG⊥AB，
∴DG⊥HJ，
∴∠DNH=90°，
∴∠HGN+∠GHN=90°，
∵∠HGN=∠GDH+∠GHD=∠GHD+∠JHF，
∴∠DHF=90°，
∴△DHF是等腰直角三角形，同理可證△GEF是等腰直角三角形．
∵∠DGA=∠FGE=90°，
∴∠DGF=∠AGE，
在△DGF和△AGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DG=AG}\\{∠DGF=∠AGE}\\{GF=GE}\end{array}\right.$，
∴△DGF≌△AGE，
∴DF=AE，∠DFG=∠AEG，
∵∠AEG+∠EOG=90°．∵∠EOG=∠AOF，
∴∠AOF+∠DFG=90°，
∴∠FMO=90°，
∴DF⊥AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)利用“8字型”證明直角，題目有一定的難度．