Question

【題目】如圖，已知拋物線與軸相交于、兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若已知點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求線段所在直線的解析式；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，)

【解析】

（1）將A點(diǎn)代入拋物線的解析式即可求得答案；

（2）先求得點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式；

（3）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示出△ACP的三邊長度，分三種情況計(jì)論，根據(jù)腰相等建立方程，求解即可．

（1）將點(diǎn)代入中，

得：，

解得：，

∴拋物線的解析式為；

（2）當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，4) ，

當(dāng)時(shí)，，

解得： ，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6，0) ，

設(shè)直線BC的解析式為，

將點(diǎn)B (6，0)，點(diǎn)C (0，4)代入，得：

，

∴，

∴直線BC的解析式為，

（3）拋物線的對(duì)稱軸為，

假設(shè)存在點(diǎn)P，設(shè)，

則，

，

，

∵△ACP為等腰三角形，

①當(dāng)時(shí)，，

解之得：，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2)或(2，-2)；

②當(dāng)時(shí)，，

解之得：或(舍去)，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，0)或(2，8)，

設(shè)直線AC的解析式為，

將點(diǎn)A(-2，0)、C (0，4)代入得，

解得：，

∴直線AC的解析式為，

當(dāng)時(shí)，，

∴點(diǎn)(2，8)在直線AC上，

∴A、C、P在同一直線上，點(diǎn)(2，8)應(yīng)舍去；

③當(dāng)時(shí)，，

解之得：，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，)；

綜上，符合條件的點(diǎn)P存在，坐標(biāo)為：(2，2)或(2，-2)或(2，0)或(2，)．